NP-完全性理论总结

算法课介绍了NP-完全性理论的方面的知识，感觉还是比较难理解的，在这里做一个总结。

课程ppt的链接：http://download.csdn.net/detail/ljh0302/9701459

1、图灵机

了解NP-完全性理论之前必须首先了解什么是图灵机。

（图片来源于网络）

所谓的图灵机就是指一个抽象的机器，它有一条无限长的纸带，纸带分成了一个个的小方格，每个方格有不同的字符。有一个机器头在纸带上移动。机器头有一组内部状态，还有一些固定的程序。在每个时刻，机器头都要从当前纸带上读入一个字符，根据当前控制器的状态和读入的字符，决定执行以下3个动作之一、之二或全部：

1）改变状态控制器中的状态

2）读写头在相应方格中写入一个符号

3）读写头左、右移一格或不动

确定图灵机DTM：每次执行的动作唯一

非确定性图灵机NTM：执行的动作是有穷多个可供选择

2、P、NP、NPC、NP-hard类问题

1）P类问题

多项式时间内可解的问题

存在一个确定型图灵机M和一个多项式p，对于该问题的任何（编码）长度为n的实例，M都能在p(n)步内，给出对该实例的回答。

2）NP类问题

存在一个非确定型图灵机M和一个多项式p，对于该问题的任何（编码）长度为n的实例，M都能在p(n)步内，给出对该实例的回答。

3）NPC类问题

对于一个(判定性)问题q，若
   (1)  q∈NP
   (2)  NP中任一问题均可多项式时间多一归约到q

则称问题q为NP-完全的(NP-complete，NPC)

4）NP-hard问题

若问题q仅满足条件(2)而不一定满足条件(1)，则问题q称为NP-难的(NP-hard，NPH)。显然： NPC⊆NP-hard

5）P、NP、NPC、NP-hard之间的关系

NPC是NP中最难的问题，但是NP-hard至少与NPC一样难