矩阵论 - 10 - 四个基本子空间

四个基本子空间

四个子空间 Four subspaces

对于任意的 \(m \times n\) 矩阵 \(A\)，若 \(rank(A)=r\) ，则有：

• 行空间 \(C(A^T)\)

  • \(A\) 的行向量的线性组合在 \(\mathbb{R}^n\) 空间中构成的子空间，也就是矩阵 \(A^T\) 的列空间。

  • \(C(A^T) \in \mathbb{R}^n, dim C(A^T)=r\)：

    行空间的基：将矩阵 \(A\) 化为行阶梯矩阵：\( A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} \underrightarrow{消元、化简} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R \)

    行变换影响了 \(A\) 的列空间，所以 \(C(R) \neq C(A)\)，但行变换并不影响行空间，所以可以在矩阵 \(R\) 中看出前两行就是行空间的一组基。

    无论对于矩阵\(A\)还是\(R\)，其行空间的一组基，可以由行阶梯矩阵 \(R\) 的前 \(r\) 行向量组成。

• 零空间 \(N(A)\)

  • \(Ax=0\) 的所有解 \(x\) 在 \(\mathbb{R}^n\) 空间中构成的子空间。
  • \(N(A) \in \mathbb{R}^n, dim N(A)=n-r\)，自由元所在的列即可组成零空间的一组基。

• 列空间 \(C(A)\)

  • \(A\) 的列向量的线性组合在 \(\mathbb{R}^m\) 空间中构成的子空间。
  • \(C(A) \in \mathbb{R}^m, dim C(A)=r\)，主元所在的列即可组成列空间的一组基。

• 左零空间 \(N(A^T)\)

  • 矩阵 \(A^T\) 的零空间为矩阵 \(A\) 的左零空间，是 \(\mathbb{R}^m\) 空间中的子空间。

  • 为什么叫左零空间：\(A^Ty=0 \rightarrow (A^Ty)^T=0^T\rightarrow y^TA=0^T\)

  • \(N(A^T) \in \mathbb{R}^m, dim N(A^T)=m-r\)：

    左零空间的基：

    应用增广矩阵 \(\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times n}\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times n}\end{array}\right]\)

    将 \(A\) 通过消元得到矩阵 \(R\) ，其消元矩阵记为 \(E\) 。

    则有 \(EA=R\) (若 \(A\) 为可逆方阵，则有 \(E=A^{-1}\))

    例子：

    \[\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times m}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c c c c|c c c}1 & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 0 \\1 & 1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\end{array}\right]\underrightarrow{消元、化简}\left[\begin{array}{c c c c|c c c}1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 2 & 0 \\0 & 1 & 1 & 0 & 1 & -1 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times m}\end{array}\right] \]

    则

    \[EA= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} =R \]

    很明显，式中 \(E\) 的最后一行对 \(A\) 的行做线性组合后，得到 \(R\) 的最后一行，即 \(0\) 向量，也就是 \(y^TA=0^T\)。

总结

四个子空间维度以及其之间关系可以参考Gilbert Strang的图：

1. 行空间求法：将矩阵 \(A\) 化为行阶梯矩阵，前 r 行向量。
2. 零空间求法：将矩阵 \(A\) 化为行阶梯矩阵，得出自由列个数，自由列一个个赋1，其他皆0，求解方程，得出自由列个数个特解，特解的线性组合就是 \(A\) 的零空间。
3. 列空间求法：主元所在的列即可组成列空间的一组基。
4. 左零空间求法：应用增广矩阵 \(\left[\begin{array}{c|c}A_{m \times n} & I_{m \times n}\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{c|c}R_{m \times n} & E_{m \times n}\end{array}\right]\) ，套用 \(EA=R\) ，使得 \(R\) 的某行为 \(0\) 的\(E\) 对应行向量。

reference

[1] textbook

[2] mit18.06学习笔记-0

[3] mit18.06学习笔记-1