线性代数(十六) : 矩阵的左零空间及四个基本子空间总结

矩阵的列空间，行空间，零空间,和做零空间是矩阵的四个基本的子空间，本节总结这四个子空间。

0 本节需要复习的内容

子空间

基与维数

列空间与零空间

1 行空间

(i) 将矩阵的每一行看做一个行向量，则矩阵的所有行向量的生成的子空间称作矩阵的行空间

(ii)由上边的定义知行空间相当于矩阵做转置之后的列空间也就是：

2 左零空间

(ii)所有满足以下等式的向量生成的空间叫做矩阵的左零空间：

(ii) 对上式两边同时做转置有：

（2）

这就是叫做左零空间的原因

3 子空间的正交关系：

(i) 对于零空间中的每一个向量有如是等式：Ax=0

根据矩阵乘法x与A的每一个行向量的点积都是0，因此零空间中的每一个向量都与A的行空间中的所有向量正交。

也就是说：

零空间与行空间正交

(ii) 跟据左零空间的定义同理可知：

左零空间与列空间正交

4 求四个子空间的示例：

已知矩阵A：

(i)rref(A)：

(ii)在将A化为rref型时对应的初等变换矩阵EA=rref:

(iii)列空间：

(iv)零空间：

(v)rref(A^T):

(vi)行空间：

(vii)左零空间：

5 左零空间的另一种解法：

根据(ii)中的初等变换矩阵E可以直接求得rref中的全零行对应的E中的行就是左零空间。

也就是使得A的各行线性组合为零向量的向量。(直接观察(ii)和(vii)中的结果即可验证)

6 四个子空间维数与基

设矩阵A为mxn的矩阵

(i)我们知道rank(A)=dim(C(A))=rref中主列的个数，零空间的维数就是自由列的个数，因此：

dim(C(A))+dim(N(A))=n

(ii)其中列空间的基就是矩阵A的主列，零空间的基就是方程的一组特解

(iii)同理可知：dim(C(A^T))+dim(N(A^T))=m

(iv)行空间的基是rref中所有非零行.左零空间的基于上边零空间的基类似。