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Matlab 的数据的分析处理-拟合与插值

在数学建模过程中，常常需要确定一个变量依存于另一个或更多的变量的关系，即确定这些变量之间的函数关系。但在实际中确定这些变量之间函数函数关系时往往没有先验的依据，只能在收集的实际数据的基础上对若干合乎理论的形式进行试验，从中选择一个最有可能反映实际的函数形式，这就是统计学中的拟合和回归方程问题。本节我们主要介绍如何分析处理实际中得到的数据。 下面先看一个例子。

例1 “人口问题”是我国最大社会问题之一，估计人口数量和发展趋势是我们制定一系列相关政策的基础。有人口统计年鉴，可查到我国从1949年至1994

一般地，我们采用下面的分析处理方法： 首先，在直角坐标系上作出人口数与年份的散点图象。观察随着年份的增加人口数与年份变化关系，初步估计出他们之间的关系可近似地可看做一条直线。那么我们如何把这条直线方程确定出来呢？并用他来估计1999年我国的人口数。 方法一：先选择能反映直线变化的两个点，如(1949，541.67)，(1984，1034.75)二点确定一条直线，方程为 N = 14.088 t – 26915.842 ，代入t =1999,得N ≈12.46亿

方法二：可以多取几组点对，确定几条直线方程，将t = 1999代入，分别求出人口数，在取其算数平值。

方法三：可采用“最小二乘法”求出直线方程。这就是曲线拟合的问题。 方法一与方法二都具有一定的局限性，下面我们重点介绍数据的曲线拟合。所谓曲线拟合是指给定平面上的n 个点(x i ,y i ),i=1,2,….,n,找出一条曲线使之与这些点相当吻合，这个过程称之为曲线拟合。最常见的曲线拟合是使用多项式来作拟合曲线。曲线拟合最常用的方法是最小二乘法。其原理是求f(x),使

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])([i n

i i y x f -=∑=δ达到最小。matlab 提供了基本的多项式曲线拟合函数命令

polyfit

格式::polyfit(x,y,n)

说明:polyfit(x,y,n)是找n 次多项式p(x)的系数,这些系数满足在最小二乘法意义下p(x(i)) ~= y(i).

已知一组数据，用什么样的曲线拟合最好呢?可以根据散点图进行直观观察，在此基础上，选择几种曲线分别拟合，然后比较，观察那条曲线的最小二乘指标最小。

下面我们给出常用的曲线(下面的,x y 为变量，,a b 等为参数) 直线：y ax b =+