知识追踪（一）：BKT

1. BKT简介

知识追踪（Knowledge Tracing）是根据学生过去的答题情况对学生的知识掌握情况进行建模，从而得到学生当前知识状态表示的一种技术。Bayesian Knowledge Tracing (BKT) ¹是最早期的一种知识追踪模型，是含有隐变量的Hidden Markov Model（HMM）。BKT对每个知识点单独建立一个HMM模型，来预测学生在特定知识点的掌握情况（模型不考虑知识点之间的相关性）。

2. 模型建立

BKT的模型结构图如下所示，其中黄色节点表示学生潜在的知识点状态、蓝色节点表示学生可观测的答题情况。

BKT模型涉及四个参数：

1. $P(L_0)$：初始时刻，学生掌握某个知识点的概率；
2. $P(T)$：学生在下一次作答中掌握某个知识点的概率；
3. $P(G)$：学生尽管没有掌握某个知识点，但是能够正确作答的概率；
4. $P(S)$：学生尽管掌握了某个知识点，但是没有正确作答的概率；

学生每次作答时，BKT都会使用上面这些参数来计算$P(L_n)$，即学生在当前时刻掌握某个知识点的概率，计算方法如下：

• 首先，根据学生当前时刻的作答情况，来计算上一时刻掌握某个知识点的条件概率$P(L_{n-1})$：

$$\begin{array}{rl}& P(L_{n-1}\mid Correc{t}_n)=\frac{P(L_{n-1})\ast (1-P(S))}{P(L_{n-1})\ast (1-P(S))+(1-P(L_{n-1}))\ast P(G)}\\ & \\ & P(L_{n-1}\mid Incorrec{t}_n)=\frac{P(L_{n-1})\ast P(S)}{P(L_{n-1})\ast P(S)+(1-P(L_{n-1}))\ast (1-P(G))}\end{array}$$

• 然后，通过$P(L_{n-1})$来计算学生在当前时刻掌握某个知识点的概率$P(L_n)$：

$$\begin{array}{rl}& P(L_n\mid Actio{n}_n)=P(L_{n-1}\mid Actio{n}_n)+(1-P(L_{n-1}\mid Actio{n}_n))\ast P(T)\end{array}$$

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1. Albert T. Corbett and John R. Anderson. Knowledge tracing: Modeling the acquisition of procedural knowledge. User Modelling and User-Adapted Interaction, 4(4):253–278, 1995. ↩︎