大二汪的期末复习-算法与数据结构（时间复杂度）

1.1基本概念和术语

1. 数据：客观事物的符号表示。
2. 数据元素（元素/记录/结点）：数据的基本单位。
3. 数据项：组成数据元素的、有独立含义的、不可分割的最小单位/域。
4. 数据对象：性质相同的数据元素的集合，是数据的一个子集。
5. 数据结构：相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

逻辑结构：从逻辑关系上描述数据，和数据的存储无关，是独立于计算机的。有两个要素：数据元素和关系。
1.集合结构：除了属于同一集合外，无其他关系。
2.线性结构：一对一关系。
3.树结构：一对多关系。
4.图结构/网状结构：多对多关系。

可分为：

• 线性结构：线性表、栈、队列、字符串、数组、广义。
• 非线性结构：树、二叉树、有向图、无向图

存储结构：也称为物理结构。指数据对象在计算机中的存储表示。把数据对象存储到计算机时，通常要求既要存储各数据元素的数据，又要存储数据元素之间的逻辑关系。数据元素在计算机内用一个结点来表示。

• 顺序存储结构：借助元素在存储器中的相对位置来表示数据元素之间的逻辑关系。要求所有的元素依次存放在一片连续的存储空间中。通常借助数组类型来描述。
• 链式存储结构：借助指针类型来描述。

6. 数据类型：一个值的集合和定义在这个值集上的一组操作的总称。
7. 抽象数据类型：一般指由用户定义的、表示应用问题的数学模型，以及定义在这个模型上的一组操作的总称。包括数据对象、数据对象上关系的集合、对数据对象的基本操作的集合。如下。

tpedef struct Lnode{
	int data;
	struct Lnode *next;
}Lnode,*LinkList;

1.2 算法和算法分析

1.2.1 算法的特性

• 有穷性
• 确定性
• 可行性
• 输入：一个算法有零个或多个输入。
• 输出：一个算法至少有一个输出。

1.2.2 评价算法优劣的基本标准

• 正确性
• 可读性：便于人们理解与交流。
• 健壮性
• 高效性：包括时间和空间两个方面。时间高效是指算法设计合理、执行效率高，可用时间复杂度来衡量；空间高效是指算法占用存储容量合理，可以用空间复杂度来度量。时间复杂度和空间复杂度是衡量算法的两个主要指标。

1.2.3 时间复杂度

• 算法效率分析的目的是看算法实际是否可行。
• 衡量算法效率的方法：事后统计法和事前分析估算法。
• 影响算法时间代价最主要的因素是问题规模。
• 问题规模是算法求解问题输入量的多少，是问题大小的本质表示。
• 一条语句的重复执行次数称作语句频度。
• 随着问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。

T(n)=O(f(n))

常见的时间复杂度按数量级递增排序为：常量阶O(1)、对数阶O(log₂n)、线性阶O(n)、线性对数阶O(nlog₂n)、平方阶O(n²)、立方阶O(n³)、……、k次方阶O(n^k)、指数阶O(2ⁿ)等。

举例：

方法：
①用1代替运行时间中所有的加法常数
②只保留最高阶项
③如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

x=90; y=100;
while(y>0){
	if(x>100){
		x=x-10;
		y--;
	}else{
		x++;
	}
}

常量阶：T(n)=O(1)

for(int i=0;i<n;i++){
	x++;
	s=0;
}

线性阶：T(n)=O(n)

x=0; y=0;
for(int i=0;i<n;i++)
	x++;
for(int i=0;i<n;i++)
	for(int j=0;j<n;j++)
		y++;

平方阶：T(n)=O(n²)

for(int i=0;i<n;i++)
	for(int j=0;j<m;j++)
		a[i][j]=0;

平方阶：T(n)=O(mn)

for(int i=0;i<n;i++)
	for(int j=0;j<m;j++)
		for(int k=0;k<o;k++)
			a[i][j][k]=0;

立方阶：T(n)=O(n³)

for(int i=1;i<=n;i=i*2){
	x++;
}

对数阶：设语句频度为f(n)，则2^f(n)≤n，即f(n)≤log₂ⁿ
∴ T(n)=O(log₂ⁿ)

1.2.4 空间复杂度

是算法所需存储空间的量度。
记作：S(n)=O(f(n))