python三维点云投影（一）
一、立体几何基础知识
1.1 平面表示
三维平面的统一表示方法：
1.2 法向量
假设（x1, y1, z1）、（x2，y2，z2）为平面上两个点，那么可以得到：
(x2-x1, y2-y1, z2-z1)是平面上的一个向量，并且根据上式可知，（A, B, C）与这个向量垂直，显然（A, B, C）为平面的法向量。
1.3 过定点且与平面垂直的直线方程
假设（x0, y0, z0）为空间中的任意一点，它在平面上的投影坐标为（x, y, z），那么由这两个点组成的向量也是平面的法向量，则应与法向量（A, B, C）平行，从而可以得到：
即（直线方程的参数表达形式）：
1.4 直线与平面交点
将上述结果带入平面方程公式（1）中可以得到：
将公式（5）带回到公式（4）即可得到投影后坐标。
二、python代码
代码以在xy投影为例，并提供矩阵计算形式。
# -*- coding: utf-8 -*-
"""
Created on Mon Apr 11 22:25:48 2022
@author: suiyingy
"""
import numpy as np
#定义平面方程Ax+By+Cz+D=0
#以z=0平面为例，即在xy平面上的投影A=0, B=0, C=1(任意值), D=0
#para[0, 0, 1, 0]
def point_project(points, para):
x = points[:, 0] # x position of point
y = points[:, 1] # y position of point
z = points[:, 2] # z position of point
d = para[0]**2 + para[1]**2 + para[2]**2
t = -(para[0]*x + para[1]*y + para[2]*z + para[3])/d
x = para[0]*t + x
y = para[1]*t + y
z = para[2]*t + z
return np.array([x, y, z]).T
#矩阵写法
#定义平面方程Ax+By+Cz+D=0
#以z=0平面为例，即在xy平面上的投影A=0, B=0, C=1(任意值), D=0
#para[0, 0, 1, 0]
def point_project_array(points, para):
para = np.array(para)
d = para[0]**2 + para[1]**2 + para[2]**2
t = -(np.matmul(points[:, :3], para[:3].T) + para[3])/d
points = np.matmul(t[:, np.newaxis], para[np.newaxis, :3]) + points[:, :3]
return points
if __name__ == '__main__':
#定义平面方程Ax+By+Cz+D=0
#以z=0平面为例，即在xy平面上的投影A=0, B=0, C=1(任意值), D=0
project_pane = [0, 0, 1, 0]
p0 = np.random.randint(1, 3, (2, 3))
print('p0: \n', p0)
p1 = point_project(p0, project_pane)
print('p1: \n', p1)
p2 = point_project_array(p0, project_pane)
print('p2: \n', p2)
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