机器人学笔记(1)变换矩阵
机器人学笔记(1)变换矩阵
空间描述
如果要描述空间中确定的一点相对于空间中坐标系的位置，使用 A P ^{A}P AP表示点P相对坐标系A的位置矢量，然而，在实际的三维空间描述中，单单使用位置矢量是不足以描述位置信息的。
为了描述物体与参考坐标系之间的位置关系，一般选择在物体上建立坐标系，通过物体坐
标系与参考坐标系之间的关系来描述物体在空间中的位置，如图，坐标系之间的位置关系可以使用位置矢量 A P ^{A}P AP来表示，而两坐标系之间的旋转关系可以使用旋转矩阵来表示，一般地，我们可以将物体坐标系的三个坐标轴的单位矢量用向量 X A ^ \hat{X_A} XA^、 Y A ^ \hat{Y_A} YA^、 Z A ^ \hat{Z_A} ZA^表示，则其在参考坐标系上的表达为： B X A ^ \hat{^{B}X_A} BXA^、 B Y A ^ \hat{^{B}Y_A} BYA^、 B Z A ^ \hat{^{B}Z_A} BZA^。可有旋转矩阵为（B相对于A的表达）： B A R ^{A}_{B}R BAR，有：
B A R = ( B X A ^ B Y A ^ B Z A ^ ) = ( r 11 r 12 r 13 r 21 r 22 r 23 r 31 r 32 r 33 ) ^{A}_{B}R = \begin{pmatrix} \hat{^{B}X_A}&\hat{^{B}Y_A}&\hat{^{B}Z_A} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} r_{11}&r_{12}&r_{13}\\ r_{21}&r_{22}&r_{23}\\ r_{31}&r_{32}&r_{33} \end{pmatrix} BAR=(BXA^BYA^BZA^)=⎝ ⎛r11r21r31r12r22r32r13r23r33⎠ ⎞
对于以上3×3矩阵中的每一个元素分别为物体坐标系三轴在参考坐标系下的投影，即：
B A R = ( B X A ^ B Y A ^ B Z A ^ ) = ( X B ^ × X A ^ Y B ^ × X A ^ Z B ^ × X A ^ X B ^ × Y A ^ Y B ^ × Y A ^ Z B ^ × Y A ^ X B ^ × Z A ^ Y B ^ × Z A ^ Z B ^ × Z A ^ ) ^{A}_{B}R = \begin{pmatrix}\hat{^{B}X_A}&\hat{^{B}Y_A}&\hat{^{B}Z_A}\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \hat{X_B}\times\ \hat{X_A}&\hat{Y_B}\times\ \hat{X_A}&\hat{Z_B}\times\ \hat{X_A}\\ \hat{X_B}\times\ \hat{Y_A}&\hat{Y_B}\times\ \hat{Y_A}&\hat{Z_B}\times\ \hat{Y_A}\\ \hat{X_B}\times\ \hat{Z_A}&\hat{Y_B}\times\ \hat{Z_A}&\hat{Z_B}\times\ \hat{Z_A} \end{pmatrix} BAR=(BXA^BYA^BZA^)=⎝ ⎛XB^× XA^XB^× YA^XB^× ZA^YB^× XA^YB^× YA^YB^× ZA^ZB^× XA^ZB^× YA^ZB^× ZA^⎠ ⎞
在上式中，上标被省略，事实上，只需要在同一个坐标系下即可，结果是一样的。
观察上述矩阵，可有：
B A R = A B R T ^{A}_{B}R = ^{B}_{A}R^T BAR=ABRT
坐标系描述
为了完整描述下述机械手的位置，可将机械手上任选位置作为描述，为方便，将其设置为连体坐标系的原点，在机器人学中，位置和姿态常常成对出现，可将其描述为坐标系，使用四个矢量为一组描述位置和姿态信息，一个位置矢量描述坐标系的位置，另三个矢量描述坐标系的姿态，即为
[ B ] = [ B A R , P B O R G ] [{B}]=[^{A}_{B}R,P_{BORG}] [B]=[BAR,PBORG]
P为位置矢量，
从坐标系到坐标系的映射
平移坐标的映射
如果两个坐标姿态相同，而他们在空间中的位置是不同的，则两者之间只需做一个平移变换，如下图所示。
此时，只需要做简单的矢量加法：
A P = A P B O G R + B P ^{A}P=^{A}P_{BOGR}+^{B}P AP=APBOGR+BP
旋转坐标的映射
已知旋转矩阵每一列均为相互垂直的单位向量，有：
B A R = A B R − 1 = A B R T ^{A}_{B}R =^{B}_AR^{-1}=^{B}_AR^{T} BAR=ABR−1=ABRT
旋转矩阵是三个一组的列向量或三个一组的行向量。
B A R = ( A X ^ B A Y ^ B A Z ^ B ) ^{A}_{B}R=\begin{pmatrix}^{A}\hat{X}_B&^{A}\hat{Y}_B &^{A}\hat{Z}_B\end{pmatrix} BAR=(AX^BAY^BAZ^B)
此时，我们已知矢量相对于某坐标系B的定义，现在求一矢量相对于另一个坐标系A的关系，且两个坐标系原点重合，这个B对A姿态描述是可以用一个姿态矩阵 B A R ^A_BR BAR来表示的，在下面这种情况中，我们已知矢量 B P ^BP BP在B坐标系下的表示，要求 A P ^AP AP，我们知道任一矢量的分量就是该矢量在参考系上单位矢量的投影，而这样的投影是由点乘得到的，即：
A p x = A X ^ B ⋅ B P A p y = A Y ^ B ⋅ B P A p z = A Z ^ B ⋅ B P ^Ap_x=^{A}\hat{X}_B\cdot^BP\\ ^Ap_y=^{A}\hat{Y}_B\cdot^BP\\ ^Ap_z=^{A}\hat{Z}_B\cdot^BP\\ Apx=AX^B⋅BPApy=AY^B⋅BPApz=AZ^B⋅BP
整理得：
A P = B A R ⋅ B P ^AP=^A_BR\cdot^BP AP=BAR⋅BP
在这种case中，我们已知 B P ^{B}P BP,求 A P ^A{P} AP，考虑最一般的情况，B坐标系与A坐标系的原点不重合，有一个矢量偏移，确定B原点的矢量用 A P B O R G ^A{P}_{BORG} APBORG表示，B对A的旋转用旋转矩阵 B A R ^{A}_{B}R BAR表示。
他们之间的变换可以借助中间坐标系先进行一次旋转，再进行一次平移得到，即：
A P = B A R ⋅ B P + A P B O G R ^{A}P=^{A}_{B}R\cdot^{B}P+^{A}P_{BOGR} AP=BAR⋅BP+APBOGR
为了将旋转和平移统一表示，我们引入一种新的形式：
A P = B A T B P ^{A}P=^{A}_{B}T^{B}P AP=BATBP
即用一个矩阵形式的算子表示一个坐标系到另一个坐标系的映射，其中T是增广后的4×4矩阵。
( A P 1 ) = ( B A R A P B O G R 0 1 ) ( B P 1 ) \begin{pmatrix} ^{A}P\\1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} ^{A}_BR&^{A}P_{BOGR}\\0&1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} ^{B}P\\1 \end{pmatrix} (AP1)=(BAR0APBOGR1)(BP1)
算子：平移与旋转
平移算子：
平移指的是一个点沿一个矢量方向移动一定的距离，对于空间中一点来说，空间中点的平移与此点到另一坐标系的映射具有相同的描述，对于某一个向量在空间中的移动而言：
对于向量 A P 1 ^{A}P_1 AP1而言， A Q ^{A}Q AQ描述了 A P 1 ^{A}P_1 AP1的位置变换，为：
A P 2 = A Q + A P 1 ^{A}P_2 =^{A}Q+^{A}P_1 AP2=AQ+AP1
用矩阵算子写出平移变换，有：
A P 2 = D Q ( q ) A P 1 ^{A}P_2=D_Q(q)^{A}P_1 AP2=DQ(q)AP1
式中，q是沿矢量 A Q ^{A}Q AQ平移的数量，其中算子 D Q ( q ) D_Q(q) DQ(q)为一种特殊的矢量变换
D Q ( q ) = ( 1 0 0 q 1 0 1 0 q 2 0 0 1 q 3 0 0 0 1 ) D_Q(q)=\begin{pmatrix} 1&0&0&q_1 \\ 0&1&0&q_2 \\ 0&0&1&q_3 \\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} DQ(q)=⎝ ⎛100001000010q1q2q31⎠ ⎞
其中 q 1 q_1 q1、 q 2 q_2 q2和 q 3 q_3 q3是平移矢量 A Q ^AQ AQ的分量，且满足 q 1 2 + q 2 2 + q 3 2 = q \sqrt {q_1^2+q_2^2+q_3^2} = q q12+q22+q32=q。
旋转算子
旋转变换算子还可以通过绕某轴转过的角度来表述，例如，绕z轴旋转的旋转矩阵为：
R z = ( c o s θ − s i n θ 0 0 s i n θ c o s θ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 ) R_z=\begin{pmatrix} cos\theta&-sin\theta&0&0\\ sin\theta&cos\theta&0&0 \\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1 \end{pmatrix} Rz=⎝ ⎛cosθsinθ00−sinθcosθ0000100001⎠ ⎞
总结
给出齐次变换矩阵的三个定义：
1.它是坐标系的描述。 B A T ^{A}_{B}T BAT表示相对于坐标系{A}的坐标系{B}。特别的， B A R ^{A}_BR BAR（纯旋转矩阵）的各列是B坐标系主轴上的单位矢量（在A坐标系下的表示）， A P B O R G ^{A}P_{BORG} APBORG只起到确定B的原点的作用。
2.它是变换映射， B A T ^{A}_{B}T BAT可以将矢量从B坐标系变换到A坐标系。
3.它是变换算子。
变换算法
变换的乘法与变换的逆运算，两套变换构成了一套功能完备的变换算子。
混合变换
已知坐标系C相对于坐标系B的变换矩阵 C B T ^{B}_{C}T CBT和坐标系B相对于坐标系A的变换矩阵 B A T ^{A}_{B}T BAT,将矢量 C P ^CP CP变换为 A P ^AP AP，有：
A P = B A T C B T C P ^AP=^{A}_{B}T^{B}_{C}T^CP AP=BATCBTCP
即：
C A T = B A T C B T ^{A}_{C}T=^{A}_{B}T^{B}_{C}T CAT=BATCBT
转为分块矩阵的形式：
C A T = ( B A R C B R B A R B P C O R G + A P B O R G 0 1 ) ^{A}_{C}T=\begin{pmatrix} ^A_BR^B_CR&^A_BR^BP_{CORG}+^AP_{BORG}\\ 0&1 \end{pmatrix} CAT=(BARCBR0BARBPCORG+APBORG1)
逆变换
已知坐标系B相对于坐标系A——即已知变换矩阵 B A T ^{A}_{B}T BAT的值，为了得到坐标系A相对于坐标系B的描述，需要求解这个矩阵的逆。当然可以直接求矩阵的逆，但这样算比较繁琐，下面介绍如何利用变换矩阵的性质计算矩阵的逆。
要求 B A T ^A_BT BAT，必须通过 A P B O R G ^AP_{BORG} APBORG和 B A R ^A_BR BAR计算得到 B P A O R G ^BP_{AORG} BPAORG和 A B R ^B_AR ABR，首先回顾一下，关于旋转矩阵，有：
A B R = B A R T ^B_AR=^A_BR^T ABR=BART
计算 A P B O R G ^AP_{BORG} APBORG在B坐标系下的表示，有
( B ( A P B O R G ) 1 ) = ( A B R B P A O G R 0 1 ) ( A P B O R G 1 ) \begin{pmatrix}^B(^AP_{BORG})\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}^{B}_AR&^{B}P_{AOGR}\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}^AP_{BORG}\\1\end{pmatrix} (B(APBORG)1)=(ABR0BPAOGR1)(APBORG1)
注意，由于计算的是 A P B O R G ^AP_{BORG} APBORG在B坐标系下的表示，故 B ( A P B O R G ) ^B(^AP_{BORG}) B(APBORG)是零矢量，有：
A B R A P B O R G + B P A O G R = 0 ^{B}_AR^AP_{BORG}+^{B}P_{AOGR}=0 ABRAPBORG+BPAOGR=0
即：
− B A R T ⋅ A P B O R G = B P A O G R -^A_BR^T\cdot ^AP_{BORG}=^{B}P_{AOGR} −BART⋅APBORG=BPAOGR
得到 A B T ^{B}_{A}T ABT为：
A B T = ( B A R T − B A R T ⋅ A P B O R G 0 1 ) ^{B}_{A}T=\begin{pmatrix}^A_BR^T&-^A_BR^T\cdot ^AP_{BORG}\\0&1 \end{pmatrix} ABT=(BART0−BART⋅APBORG1)
})$是零矢量，有：
A B R A P B O R G + B P A O G R = 0 ^{B}_AR^AP_{BORG}+^{B}P_{AOGR}=0 ABRAPBORG+BPAOGR=0
即：
− B A R T ⋅ A P B O R G = B P A O G R -^A_BR^T\cdot ^AP_{BORG}=^{B}P_{AOGR} −BART⋅APBORG=BPAOGR
得到 A B T ^{B}_{A}T ABT为：
A B T = ( B A R T − B A R T ⋅ A P B O R G 0 1 ) ^{B}_{A}T=\begin{pmatrix}^A_BR^T&-^A_BR^T\cdot ^AP_{BORG}\\0&1 \end{pmatrix} ABT=(BART0−BART⋅APBORG1)