DTFT--DFT--FFT--Z各种离散变换，究竟是个啥？

说明： 如果嫌公式看起来麻烦，可以直接拉到底，看结论。边看结论，变往上拉，看各个部分具体的公式。也可以从头慢慢看到尾。

1. 先从连续信号的傅里叶变换CTFT说起

连续时间傅里叶变换的定义:简称为CTFT,即continuous-time Fourier transform,其定义如下：
CTFT正变换公式（1-1）：
$$F(j\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}\mathrm{d}t$$

CTFT反变换公式（1-2）：
$$f(t)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{j\omega t}\mathrm{d}\omega$$

对于反变换可理解为：一个连续信号f(t)，可由一系列指数函数$e^{j\omega t}$求和而得。而每个指数函数前面的系数为加权值。即 $\frac{1}{2\pi }F(j\omega )d\omega$

2. 离散时间傅里叶变换DTFT

傅里叶变换针对的是连续时间信号，而计算机处理的是离散时间信号。因此，为了计算机处理的方便，我们需要将连续信号在时间域进行离散，常用的方法是对连续信号进行时域采样。
假设原连续信号为$x(t)$ ，对其采样后得到的时域离散信号为$x_p(t)$ 。
连续时间信号抽样公式（2-1）：
$$x_p(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(t)\delta (t-n{T}_s)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n{T}_s)\delta (t-n{T}_s)$$
这里的$x(n{T}_s)$表示$x(t)$在抽样时刻$t=n{T}_s$处的取值($T_s$为采样间隔)。这些取值构成了一个序列。通常用$x[n]$表示$x(n{T}_s)$。

仿照连续时间信号的傅里叶变换公式（1-1），离散时间信号DTFT正变换公式（2-2）： $$X(e^{j\Omega })=\sum _{-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\Omega n}$$
DTFT反变换公式（2-3）： $$x[n]=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\Omega })e^{j\Omega n}\mathrm{d}\Omega$$
说明： 这里的$\Omega$是离散的数字角频率。而CTFT公式里的$\omega$是连续角频率。如果不是为了对比分析DTFT和CTFT，也可以不用刻意区分大小写。

3. DTFT与CTFT的关系？

事实上，也可以对离散后的时间信号$x_p(t)$做DTFT。具体做法就是：将原公式（1-1）中的f(t)换为现在的$x_p(t)$。最终，
离散时间信号的CTFT公式（3-1）：$$X_p(j\omega )=\sum _{-\infty }^{\infty }x(n{T}_s)e^{-j\omega n{T}_s}=\sum _{-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\omega n{T}_s}$$
对照公式（2-2） 同一个离散时间信号对应DTFT公式：
$$X(e^{j\Omega })=\sum _{-\infty }^{\infty }x[n]e^{-j\Omega n}$$
可发现：当 $\Omega =\omega T_s$时，CTFT变为DTFT。

4. 离散傅里叶变换DFT

无论是中文名，还是英文缩写，DFT和DTFT都很像。那么，在已经知道什么是DTFT之后,DFT又是什么？这不得不再提一下计算机了。我们知道，计算机善于处理离散的数字信号。这也是我们刚才2中将连续信号进行时间离散的目的，但是对这个离散信号所做的DTFT变换，在频率域看到的频谱却不一定也是离散的。为了解决这个问题，需要在频率域也对信号频谱进行采样。这样，无论时域还是频域，都能变成计算机能处理的形式。
那么，具体怎么运算和操作呢?
对有限长序列$x[n]$的 DFT(离散傅里叶变换) 定义为：
$$X(k)=\sum _0^{N-1}x(n)W_N^{kn}$$
DFT反变换：
$$x[n]=\frac{1}{N}\sum _0^{N-1}X(k)W_N^{-kn}$$
说明：

• 有限长序列$x[n]$的序列号从0至N-1；
• $W_N$称为旋转因子。$W_N=e^{\frac{-j2\pi }{N}}$。

5. DFT与DTFT的关系

DTFT：
$$X(e^{j\Omega })=\sum _{-\infty }^{\infty }x(n)e^{-j\Omega n}$$
如果该序列有限长，n取值从0~N-1。上式变为：
$$X(e^{j\Omega })=\sum _0^{N-1}x(n)e^{-j\Omega n}$$
DFT：
$$X(k)=\sum _0^{N-1}x(n)W_N^{kn}$$
又因为旋转因子$W_N=e^{\frac{-j2\pi }{N}}$，所以：
$$X(k)=\sum _0^{N-1}x(n)e^{\frac{-j2\pi kn}{N}}$$
对比上下两式，可见，当$\Omega =\frac{2\pi k}{N}$时，两式等同。
换句话说：DFT的$X(k)$是DTFT$X(e^{j\Omega })$按照$\Omega =\frac{2\pi k}{N}$采样后的结果。

6. Z变换

限于篇幅。这里不再赘述。大体来说，Z变换属于离散信号的拉普拉斯变换，因此，它可以看做是DTFT这种傅里叶变换的推广。反过来说，在单位圆上的Z变换就是DTFT。

7. 总结Conclusion

其他，参考：[https://www.cnblogs.com/BitArt/archive/2012/11/24/2786390.html]

学过卷积，我们都知道有时域卷积定理和频域卷积定理，在这里只需要记住两点：1.在一个域的相乘等于另一个域的卷积；2.与脉冲函数的卷积，在每个脉冲的位置上将产生一个波形的镜像。(在任何一本信号与系统课本里，此两条性质有详细公式证明)
下面，就用这两条性质来说明DFT，DTFT，DFS，FFT之间的联系：
先看图片：
首先来说图（1）和图（2），对于一个模拟信号，如图(1)所示，要分析它的频率成分，必须变换到频域，这是通过傅立叶变换即FT(Fourier Transform)得到的，于是有了模拟信号的频谱，如图(2)；注意1：时域和频域都是连续的！
　　但是，计算机只能处理数字信号，首先需要将原模拟信号在时域离散化，即在时域对其进行采样，采样脉冲序列如图(3)所示，该采样序列的频谱如图(4)，可见它的频谱也是一系列的脉冲。所谓时域采样，就是在时域对信号进行相乘，(1)×(3)后可以得到离散时间信号x[n]，如图(5)所示；由前面的性质1，时域的相乘相当于频域的卷积，那么，图(2)与图(4)进行卷积，根据前面的性质2知，会在各个脉冲点处出现镜像，于是得到图(6)，它就是图(5)所示离散时间信号x[n]的DTFT(Discrete time Fourier Transform)，即离散时间傅立叶变换，这里强调的是“离散时间”四个字。注意2：此时时域是离散的，而频域依然是连续的。
　　经过上面两个步骤，我们得到的信号依然不能被计算机处理，因为频域既连续，又周期。我们自然就想到，既然时域可以采样，为什么频域不能采样呢？这样不就时域与频域都离散化了吗？没错，接下来对频域在进行采样，频域采样信号的频谱如图(8)所示，它的时域波形如图(7)。现在我们进行频域采样，即频域相乘，图(6)×图(8)得到图(10)，那么根据性质1，这次是频域相乘，时域卷积了吧，图(5)和图(7)卷积得到图(9)，不出所料的，镜像会呈周期性出现在各个脉冲点处。我们取图（10）周期序列的主值区间，并记为X(k)，它就是序列x[n]的DFT(Discrete Fourier Transform)，即离散傅立叶变换。可见，DFT只是为了计算机处理方便，在频率域对DTFT进行的采样并截取主值而已。有人可能疑惑，对图(10)进行IDFT，回到时域即图(9)，它与原离散信号图(5)所示的x[n]不同呀，它是x[n]的周期性延拓！没错，因此你去查找一个IDFT的定义式，是不是对n的取值区间进行限制了呢？这一限制的含义就是，取该周期延拓序列的主值区间，即可还原x[n]！
　　FFT呢？FFT的提出完全是为了快速计算DFT而已，它的本质就是DFT！我们常用的信号处理软件MATLAB或者DSP软件包中，包含的算法都是FFT而非DFT。
　　DFS,是针对时域周期信号提出的，如果对图(9）所示周期延拓信号进行DFS，就会得到图(10)，只要截取其主值区间，则与DFT是完全的一一对应的精确关系。这点对照DFS和DFT的定义式也可以轻易的看出。因此DFS与DFT的本质是一样的，只不过描述的方法不同而已。