协方差矩阵在torch和numpy中的比较，自行实现torch协方差矩阵
前言
数学中（教科书、大学课堂、数学相关的科普视频），一个矩阵的向量往往是竖着的，一列作为一个vector，这一点numpy库也是这样默认的。
但是在机器学习以torch框架为例，一个有意义的向量或者说embedding是横着的。
比较
因为numpy库默认是一列是一个向量而torch等机器学习框架默认一行是一个向量，所以
torch.cov(X)和numpy.cov(X.T)是相等的。
自行实现
torch在较高版本中才有torch.cov函数，低版本的需要自行实现。
因为大部分博客都是数学风格的，在减掉均值后，大部分写 X X T XX^T XXT算协方差矩阵，这是默认以列为一个vector，一定要注意。
因为torch的一个向量是一个横行，所以自行实现其实是 X T X X^TX XTX
def torch_cov(input_vec:torch.tensor):
x = input_vec- torch.mean(input_vec,axis=0)
cov_matrix = torch.matmul(x.T, x) / (x.shape[0]-1)
return cov_matrix
这样子可以和numpy的cov比较一下：
vecs=torch.tensor([[1,2,3,4],[2,2,3,4]]).float()
vecs_np=vecs.numpy()
cov = np.cov(vecs_np.T)
# 显示
array([[0.5, 0. , 0. , 0. ],
[0. , 0. , 0. , 0. ],
[0. , 0. , 0. , 0. ],
[0. , 0. , 0. , 0. ]])
torch_cov(vecs)
# 显示
tensor([[0.5000, 0.0000, 0.0000, 0.0000],
[0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000],
[0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000],
[0.0000, 0.0000, 0.0000, 0.0000]])
二者是一样的。
直面矩阵的数学解释
对于矩阵 M M M来说，1行为一个高维变量 x i x_i xi应当表示成
[ x 1 x 2 x 3 ] \left[ \begin{matrix} x_1\\ x_2\\ x_3\\ \end{matrix} \right] ⎣⎡x1x2x3⎦⎤
计算均值 μ \mu μ，应当是对 x i x_i xi求 μ \mu μ， μ = 1 N ∑ N x i \mu=\frac1N\sum_Nx_i μ=N1N∑xi所以 μ \mu μ也是一个高维（与x同维度）的向量。
M − μ M-\mu M−μ变换应当表示成
X = [ x 1 − μ x 2 − μ x 3 − μ ] = [ x 1 ′ x 2 ′ x 3 ′ ] X=\left[ \begin{matrix} x_1-\mu\\ x_2-\mu\\ x_3-\mu\\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} x_1'\\ x_2'\\ x_3'\\ \end{matrix} \right] X=⎣⎡x1−μx2−μx3−μ⎦⎤=⎣⎡x1′x2′x3′⎦⎤
我们把变换后的 M M M写做 X X X，变换后的 x i x_i xi写作 x i ′ x'_i xi′。
协方差矩阵 Σ \Sigma Σ的意义是各个维度之间相互的方差，则应当是
1 3 X T X = 1 3 [ x 1 ′ , x 2 ′ , x 3 ′ ] [ x 1 ′ x 2 ′ x 3 ′ ] = Σ \frac13X^TX=\frac13\left[ \begin{matrix} x_1', x_2', x_3'\\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x_1'\\ x_2'\\ x_3'\\ \end{matrix} \right]=\Sigma 31XTX=31[x1′,x2′,x3′]⎣⎡x1′x2′x3′⎦⎤=Σ
直观解释是这个乘法 Σ \Sigma Σ最左上角的元素，恰好是 x i ′ x'_i xi′第1维对第1维的自我方差，此时可以确认是正确意义的协方差矩阵。
当然，算完之后还要乘变量个 1 3 \frac13 31或者 1 3 − 1 \frac1{3-1} 3−11。