使用粒子群算法求解局部最优值

如何用粒子群算法求解局部最优值

粒子群算法的原理和求解思路

粒子群算法基本思想是经验学习和群体学习。在核辐射探测中，有一种仪器叫做盖革计数器，切尔诺贝利事件中，施工人员多半会佩戴盖革计数器。盖革计数器响了，代表人所处点位的受辐射水平高；施工人员可以通过对讲机相互交流，团队中所有人都能知道谁所处的点位有超标辐射。这只是一个抽象的例子，但是可以基本了解粒子群算法的基本思路。

用鸟群捕食做更形象的描述。一个鸟群在一片区域中捕食一只兔子，每只鸟都不知道这只兔子在哪里，但是都知道自己离这只兔子的距离是多少。每只鸟都会记下自己的历史最优位置；此外，鸟群可以相互交流，大家都可以知道谁有最佳的历史最优点（即当前的全局历史最优点）。在调整位置的过程中，每只鸟都会参考自己的历史最优位置和当前的全局历史最优位置，从而挪动到新的位置。

因此，粒子群算法的基本思路是这样的式子：
$$v_i=\omega \times v_i+c_1\times random(0,1)\times (hbes{t}_i-p_i)+c_2\times random(0,1)\times (gbes{t}_i-p_i)$$
其中，$v_i$ 是速度向量，具有大小和方向，$hbes{t}_i$ 是个体 $i$ 的历史最优位置，$gbes{t}_i$ 是当前全局历史最优位置，$p_i$ 是个体当前位置。$\omega$ 被称为“惯性系数”，形象地描述了改变当前速度的“积极程度”；$c_1、c_2$ 被称为加速系数，描述了两方向的分速度改变的快慢。经过不断迭代，每个点更新自己的坐标，最后得到优化后的坐标点解和最优值。

用粒子群算法求解局部最小值问题

求解 $y=f(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$ 的最小值，其中$-10\le x_1,x_2\le 10$。

'''
全局版 PSO 算法
粒子数 n = 3
惯性权重 omega = 0.5
加速系数 c1 = c2 = 2
'''
import numpy as np
from tqdm import tqdm # 监视程序运行进程

def func(x):
    return (x ** 2).sum(axis=0)

def Initialize(n, dimension, lowerBound=-10, upperBound=10): # 点数 维度 下界 上界
    return np.random.uniform(lowerBound, upperBound, (n, dimension))

def scoreEvaluation(func, matrix): # 转化为评分
    return np.apply_along_axis(func, 1, matrix)

def historyBestPoint(matrix, presentValue, historyBestValue, historyBestPosition): # 更新和记录历史最优点
    historyBestPosition[presentValue < historyBestValue] = matrix[presentValue < historyBestValue]
    historyBestValue[historyBestValue > presentValue] = presentValue[historyBestValue > presentValue]

    return historyBestPosition, historyBestValue


def Diversion(matrix, historyBestPosition, globalBestPosition, omega, c1, c2, lowerBound=-10, upperBound=10):
    matrix = omega * matrix + \
             c1 * np.random.random() * (historyBestPosition - matrix) + \
             c2 * np.random.random() * (globalBestPosition - matrix)

    # 强制性调整范围防止越界
    matrix[matrix < lowerBound] = lowerBound
    matrix[matrix > upperBound] = upperBound
    
    return matrix

在主函数中调用模型粒子群算法：

if __name__ == '__main__':
    omega = 0.5 # 惯性系数
    c1 = c2 = 2 # 加速系数
    n = 3 # 粒子数量 粒子为二维粒子(x1, x2)

    PointGroup = Initialize(n, 2) # 上下界已经有默认参数了
    print('初始点集为:\n', PointGroup)
    # 初始化个体历史最优解(第一次迭代前，当前最优解就是历史最优解和全局历史最优解)
    historyBestValue = scoreEvaluation(func, PointGroup)
    historyBestPosition = PointGroup
    # 初始化全局历史最优解
    globalBestValue = historyBestValue.min()
    globalBestPosition = historyBestPosition[historyBestValue.argmin()]
    
	# 迭代 10000 次
    for i in tqdm(range(10000)):
        # 计算现值
        presentValue = scoreEvaluation(func, PointGroup)
        # 决定是否替换全局最优位置
        if globalBestValue > presentValue.min():
            globalBestPosition = PointGroup[presentValue.argmin()]
            globalBestValue = presentValue.min()
        # 更新历史最优位置
        historyBestPosition, historyBestValue = historyBestPoint(PointGroup, presentValue, historyBestValue, historyBestPosition)
        # 迭代更新点位置
        PointGroup = Diversion(PointGroup, historyBestPosition, globalBestPosition, omega, c1, c2)

    # 输出最后的全局最优解
    print(f'(近似)最优解为: ', globalBestPosition)
    print(f'(近似)最优值为: ', globalBestValue)

最后，得到的结果并作图示意：

下图中红点即为用粒子群算法求解得到的全局最优点。