【算法基础】1.3 二分

本文通过两道例题分别讲解整数二分和小数二分，其中整数二分更具难度一些。

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数的范围（整数二分）

题目描述

给定一个按照升序排列的长度为 n 的整数数组，以及 q 个查询。

对于每个查询，返回一个元素 k 的起始位置和终止位置（位置从 0 开始计数）。

如果数组中不存在该元素，则返回 -1 -1。

数据范围
1 ≤ n ≤ 100000
1 ≤ q ≤ 10000
1 ≤ k ≤ 10000

解法

import java.util.*;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt(), q = sc.nextInt();
        
        int[] nums = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            nums[i] = sc.nextInt();
        }
        
        int k, l, r, mid;
        while (q-- > 0) {
            k = sc.nextInt();
            l = 0;
            r = n - 1;
            while (l < r) {
                mid = l + r >> 1;
                if (nums[mid] >= k) {
                    r = mid;
                } else {
                    l = mid + 1;
                }
            }
            
            if (nums[l] != k) {
                System.out.println("-1 -1");
            } else {
                System.out.print(l + " ");
                l = 0;
                r = n - 1;
                while (l < r) {
                    mid = l + r + 1 >> 1;
                    if (nums[mid] <= k) {
                        l = mid;
                    } else {
                        r = mid - 1;
                    }
                }
                System.out.println(l);
            }
        }
    }
}

讲解

其实题目很简单，就是在每个查询中（总共q个查询，就是q次循环），查找到指定元素的开始位置和结束位置，这里使用二分法来查找。
q次查询的复杂度是O(N)，二分查找的复杂度是O（logN）。

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在上面的代码中，属于二分精华的有两部分，分别是：
寻找左边界：

 while (l < r) {
     mid = l + r >> 1;
     if (nums[mid] >= k) {
         r = mid;
     } else {
         l = mid + 1;
     }
 }

寻找右边界：

 while (l < r) {
     mid = l + r + 1 >> 1;
     if (nums[mid] <= k) {
         l = mid;
     } else {
         r = mid - 1;
     }
 }

关于二分模板可以查看：https://blog.csdn.net/qq_43406895/article/details/126787887

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我们利用模板来进行分析：
左端点：当mid位置=target时，r指针变成mid就可以了。
右端点：当mid位置>target时，应该向mid的左移，当mid位置<=target时，l指针变成mid就可以了。

数的三次方根（小数二分）

题目描述

给定一个浮点数 n，求它的三次方根。

数据范围
−10000 ≤ n ≤ 10000

解法

import java.util.Scanner;

public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        double n = sc.nextDouble();

        double l = -100;
        double r = 100;

        while (r - l > 1e-8) {
            double mid = (l + r) / 2;

            if (Math.pow(mid, 3) >= n) {
                r = mid;
            } else {
                l = mid;
            }
        }
        System.out.print(String.format("%.6f", l));
    }
}

讲解

浮点数二分就简单多了，永远是double mid = (l + r) / 2;，r = mid;和l = mid;，结果大了就减小r，小了就增大l。

值得注意的是，while(l < r)变成了while (r - l > 1e-8)，这是因为浮点数的计算精度误差导致的。

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相关链接：
【算法】二分查找经典模板