统计信号处理基础 习题解答5-11

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题目

解答

1. 第一个参数变化后的MVU估计量求解

2. 第二个参数变化后的MVU估计量求解

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题目

 对于例5.2，希望估计 来代替估计 。求 的MVU估计量。如果参数 ，那么 的MVU估计量是什么？提示：根据 重新参数化PDF，并且使用标准方法。

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解答

1. 第一个参数变化后的MVU估计量求解

由于：

因此：

而由于：

因此得到：

因此，概率密度函数可以拆分为

其中：

        根据定理5.1，可以得到：

是 的一个充分统计量。

        而又由于：

因此，可以构建：

此时可以得到：

因此， 是无偏估计，利用定理5.2，可以得到： 是MVU估计。

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2. 第二个参数变化后的MVU估计量求解

因此：

而由于：

因此得到：

因此，概率密度函数可以拆分为

其中：

        根据定理5.1，可以得到：

是 的一个充分统计量。

        而由于

        因此：

        也就可以分别得到：

        也就可以得到：

        接下来，我们需要尝试构建函数：

        使得：

        由于其中出现了 ，因此我们首先尝试 的三阶中心矩：

        由于奇数阶的中心矩都为零，因此

中心矩，原点矩可以进一步参考：

标准正态分布k阶原点矩公式_犹有傲霜枝的博客-CSDN博客_正态分布的k阶原点矩

因此，可以得到：

化简后可以得到：

于是可以得到：

因此，可以构造函数，满足：

其中

当然，如果我们一开始，就用另外一个充分统计量（该充分统计量，应该是原版习题解答上用到的充分统计量，此处应该是作者存在笔误），即：

上述推导过程就会简单很多，最终可以得到：

由于上述推导满足定理5.2，因此 是MVU估计。