第一类换元法（凑微分法）

前置知识：直接积分法

第一类换元法（凑微分法）

对于函数$f(x),g(x)$根据复合函数的求导法则，
$$\frac{d}{dx}[f(g(x))]=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$$

于是
$$\int f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)dx=f(g(x))+C$$

令$u=g(x)$，因为
$$\int f^{\prime }(u)dx=f(u)+C$$

则在求$\int f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)$时，可以将其变换为$\int f^{\prime }(u)du$，求出结果$f(u)+C$后再将$u=g(x)$代入：
$$\int f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)=\int f^{\prime }(u)du=f(u)+C=f(g(x))+C$$

这里涉及到一阶微分的形式不变性。

以上就是第一类换元法，又称凑微分法。

常见凑微分公式

$\int f(ax+b)dx=\frac{1}{a}f(ax+b)d(ax+b)$

$\int f(a{x}^n+b)x^{n-1}dx=\frac{1}{na}\int f(a{x}^n+b)d(a{x}^n+b)$

$\int f(\frac{1}{x})\frac{1}{x^2}dx=-\int f(\frac{1}{x})d(\frac{1}{x})$

$\int f(\sqrt{x})\frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\int f(\sqrt{x})d(\sqrt{x})$

$\int f(\ln x)\frac{1}{x}dx=\int f(\ln x)d(\ln x)$

$\int f(e^x)e^{x}dx=\int f(e^x)d(e^x)$

$\int f(\sin x)\cos xdx=\int f(\sin x)d(\sin x)$

$\int f(\cos x)\sin xdx=-\int f(\cos x)d(\cos x)$

$\int f(\tan x){\sec }^{2}xdx=\int f(\tan x)d(\tan x)$

$\int f(\cot x){\csc }^{2}xdx=-\int f(\cot x)d(\cot x)$

$\int f(\sec x)\sec x\tan xdx=\int f(\sec x)d(\sec x)$

$\int f(\csc x)\csc x\cot xdx=-\int f(\csc x)d(\csc x)$

$\int f(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\int f(\arcsin x)d(\arcsin x)$

$\int f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx=\int f(\arctan x)d(\arctan x)$

例题

题1： 计算$\int \frac{1}{\sqrt{2x+1}}dx$

解：原式$=\int (2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}dx=\frac{1}{2}\int (2x+1{)}^{-\frac{1}{2}}d(2x+1)=(2x+1{)}^{\frac{1}{2}}+C$

题2： 计算$\int x\cos (x^2+2)dx$

解：原式$=\frac{1}{2}\int \cos (x^2+2)d(x^2+2)=\frac{1}{2}\sin (x^2+2)+C$

总结

常见凑微分公式并不需要背，只要掌握技巧，这些都是可以推出来的。