线性代数Python计算：无关向量组的正交化

将ℝ${}^n$的一个无关组${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_k$正交化为${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,\cdots ,{\mathbf{\beta }}_k$的计算公式为：
$$\{\begin{array}{l}{\mathbf{\beta }}_1={\mathbf{\alpha }}_1\\ {\mathbf{\beta }}_2=-\frac{{\mathbf{\beta }}_1\circ {\mathbf{\alpha }}_2}{{\mathbf{\beta }}_1\circ {\mathbf{\beta }}_1}{\mathbf{\beta }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2\\ \cdots \cdots \cdots \\ {\mathbf{\beta }}_k=-\frac{{\mathbf{\beta }}_1\circ {\mathbf{\alpha }}_k}{{\mathbf{\beta }}_1\circ {\mathbf{\beta }}_1}{\mathbf{\beta }}_1-\frac{{\mathbf{\beta }}_2\circ {\mathbf{\alpha }}_k}{{\mathbf{\beta }}_2\circ {\mathbf{\beta }}_2}{\mathbf{\beta }}_2-\cdots -\frac{{\mathbf{\beta }}_{k-1}\circ {\mathbf{\alpha }}_k}{{\mathbf{\beta }}_{k-1}\circ {\mathbf{\beta }}_{k-1}}{\mathbf{\beta }}_{k-1}+{\mathbf{\alpha }}_k\end{array}.$$
将上述公式写成下列的Python函数：

import numpy as np                      #导入numpy
def orthogonalize(A):                   #计算存储在A中的向量组正交化
    _,k=A.shape                         #读取向量个数k
    B=A.copy()                          #将A拷贝为B
    for i in range(1,k):                #计算B的第1~k-1列
        for j in range(i):              #计算B[:,i]
            B[:,i]-=(np.dot(B[:,j],A[:,i])/np.dot(B[:,j],B[:,j]))*B[:,j]
    return B                            #正交化结果

程序的第2~8行定义无关向量组正交化函数orthogonalize，无关向量组以列的形式存储于参数A。第3行读取存储在A中的向量个数k。第4行将A的副本拷贝为B，作为正交化向量的初始值。第5~7行的两重for循环完成正交化向量组B的计算，外层for循环扫描B中从第2列（下标为1）开始的每一列（下标为0的第1列存储的是${\mathbf{\alpha }}_1$，不用处理），内层的for循环对B的当前列（下标为i）按公式
$${\mathbf{\beta }}_i=-\frac{{\mathbf{\beta }}_1\circ {\mathbf{\alpha }}_i}{{\mathbf{\beta }}_1\circ {\mathbf{\beta }}_1}{\mathbf{\beta }}_1-\frac{{\mathbf{\beta }}_2\circ {\mathbf{\alpha }}_i}{{\mathbf{\beta }}_2\circ {\mathbf{\beta }}_2}{\mathbf{\beta }}_2-\cdots -\frac{{\mathbf{\beta }}_{i-1}\circ {\mathbf{\alpha }}_i}{{\mathbf{\beta }}_{i-1}\circ {\mathbf{\beta }}_{i-1}}{\mathbf{\beta }}_{i-1}+{\mathbf{\alpha }}_i$$
计算${\mathbf{\beta }}_i$。注意，Python用复合赋值运算符x-=a表示x=x-a。由于B在第4行拷贝为A的副本，故B[:,i]的初始值就是${\mathbf{\alpha }}_i$。而B[:,[1:i]]中存储的是在当前的${\mathbf{\beta }}_i$计算前已经计算完毕的诸${\mathbf{\beta }}_j$，注意numpy的dot函数完成向量的内积运算。循环完成，B中存储的就是正交化后的向量组。
对正交换后的向量组，可以用下列定义的函数作单位化处理。

import numpy as np                      #导入numpy
def unitization(A):                     #A中存储各列向量
    _,k=A.shape                         #读取向量个数
    for i in range(k):                  #对每一个向量
        A[:,i]/=np.linalg.norm(A[:,i])  #单位化

待单位化的向量以列的形式组织于函数unitization的参数A中。第3行读取向量个数k。第4~5行的for循环对A的每一列A[:,i]（i取遍0~k-1），用自身的模（调用np.linalg的norm函数计算）除该列元素，即${\mathbf{\alpha }}_i/|{\mathbf{\alpha }}_i|$。循环结束，A中各列均完成单位化操作。
例1 用Python计算向量组${\mathbf{\alpha }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_2=\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\alpha }}_3=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\\ 1\\ 0\end{array}\right)\in$ℝ${}^4$的正交化及单位化。

import numpy as np                              #导入numpy
np.set_printoptions(precision=4, suppress=True) #设置输出精度
A=np.array([[1,1,-1],                           #向量组矩阵
            [0,-1,1],
            [-1,0,1],
            [1,1,0]],dtype='float')
B=orthogonalize(A)                              #正交化
print(B)
unitization(B)                                  #单位化
print(B)

程序的第3~6行设置由向量作为列构成的矩阵A。第7行调用以上定义的正交化函数orthogonalize对存储在A中的列向量正交化，得保存在B中的正交化后的向量组。第8行调用上述定义的单位化函数unitization将存储在B中的两两正交向量组单位化。运行程序，输出

[[ 1.      0.3333 -0.2   ]
 [ 0.     -1.      0.6   ]
 [-1.      0.6667  0.6   ]
 [ 1.      0.3333  0.8   ]]
[[ 0.5774  0.2582 -0.169 ]
 [ 0.     -0.7746  0.5071]
 [-0.5774  0.5164  0.5071]
 [ 0.5774  0.2582  0.6761]]

前四行表示${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$正交化后的结果${\mathbf{\beta }}_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\\ 1\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_2=\left(\begin{array}{c}\frac{1}{3}\\ -1\\ \frac{2}{3}\\ \frac{1}{3}\end{array}\right),{\mathbf{\beta }}_3=\left(\begin{array}{c}-\frac{1}{5}\\ \frac{3}{5}\\ \frac{3}{5}\\ \frac{4}{5}\end{array}\right)$精确到万分位的近似值。后四行表示对${\mathbf{\beta }}_1,{\mathbf{\beta }}_2,{\mathbf{\beta }}_3$单位化后的结果。
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