概率论与数理统计
概率定义
事件 A 发生的概率：随机试验 E , 试验样本空间为 S . E 的每一事件 A , 存在一实数与之对应，记为 P ( A ) . 满足 : ( 1 ) 有界性： f o r ∀ 事件 A , h a v e 0 ≤ P ( A ) ≤ 1 ; ( 2 ) 规范性： P ( S ) = 1 ; ( 3 ) 可列可加性： f o r 随机试验 E 的事件 A 1 , A 2 , . . . , A n , . . . , i f 两两互不相容，即 A i A j = ∅ ( i ≠ j ; i , j = 1 , 2 , . . . ) , t h a t h a v e P { A 1 ⋃ A 2 ⋃ . . . ⋃ A n ⋃ . . . } = P { A 1 } + P { A 2 } + . . . P { A n } + . . . 事件A发生的概率：随机试验E, 试验样本空间为S.\\E的每一事件A,存在一实数与之对应，记为P\left ( A \right ) .\\满足:\\(1)有界性：for \forall 事件A,have 0\leq P\left ( A \right )\leq 1 ;\\(2)规范性：P\left ( S \right )=1 ;\\ (3)可列可加性： for随机试验E的事件A_{1},A_{2},...,A_{n},...,\\if两两互不相容，即A_{i}A_{j}=\varnothing \left ( i\neq j;i,j=1,2,... \right ),\\ that\ have\ P\left \{ A_{1}\bigcup A_{2}\bigcup ...\bigcup A_{n} \bigcup ...\right \}= P\left \{ A_{1} \right \}+P\left \{ A_{2} \right \}+...P\left \{ A_{n} \right \}+... 事件A发生的概率：随机试验E,试验样本空间为S.E的每一事件A,存在一实数与之对应，记为P(A).满足:(1)有界性：for∀事件A,have0≤P(A)≤1;(2)规范性：P(S)=1;(3)可列可加性：for随机试验E的事件A1,A2,...,An,...,if两两互不相容，即AiAj=∅(i=j;i,j=1,2,...),that have P{A1⋃A2⋃...⋃An⋃...}=P{A1}+P{A2}+...P{An}+...
事件的独立和事件互不相容两个概念的区别
证明：相互独立事件一定相容
概率性质
1 、有限可加性：设事件 A 1 , A 2 , . . . , A n , 两两互不相容 , 则 P { A 1 ⋃ A 2 ⋃ . . . ⋃ A n } = P { A 1 } + P { A 2 } + . . . P { A n } 1、有限可加性：设事件A_{1},A_{2},...,A_{n},两两互不相容,则\\P\left \{ A_{1}\bigcup A_{2}\bigcup ...\bigcup A_{n} \right \}= P\left \{ A_{1} \right \}+P\left \{ A_{2} \right \}+...P\left \{ A_{n} \right \} 1、有限可加性：设事件A1,A2,...,An,两两互不相容,则P{A1⋃A2⋃...⋃An}=P{A1}+P{A2}+...P{An} 2 、对立事件概率： P ( A ˉ ) = 1 − P ( A ) , w h e n A = S 得 P ( ∅ ) = 0 证明： ∵ A A ˉ = ∅ ∴ 由有限可加性得： 1 = P ( S ) = P ( A ⋃ A ˉ ) = P ( A ) + P ( A ˉ ) ⇒ P ( A ˉ ) = 1 − P ( A ) 2、对立事件概率：P\left ( \bar{A} \right )=1-P\left ( A \right ),when\ A=S得P\left ( \varnothing \right )=0\\ 证明：\because A\bar{A}=\varnothing \therefore由有限可加性得：\\ 1=P\left ( S \right )=P\left ( A\bigcup \bar{A} \right )=P\left ( A \right )+P\left ( \bar{A} \right )\\\Rightarrow P\left ( \bar{A} \right )=1-P\left ( A \right ) 2、对立事件概率：P(Aˉ)=1−P(A),when A=S得P(∅)=0证明：∵AAˉ=∅∴由有限可加性得：1=P(S)=P(A⋃Aˉ)=P(A)+P(Aˉ)⇒P(Aˉ)=1−P(A) 3 、设 A ⊂ B , 则 h a v e P ( B − A ) = P ( B ) − P ( A ) , a n d P ( B ) ≥ P ( A ) 证明： A ⋃ ( B − A ) = A ⋃ ( B ⋂ A ˉ ) = ( A ⋃ B ) ⋂ ( A ⋃ A ˉ ) = ( A ⋃ B ) ⋂ S ∵ A ⊂ B ∴ ( A ⋃ B ) ⋂ ( A ⋃ A ˉ ) = B ⋂ S = B 又 ∵ A ⋂ ( B − A ) = A ⋂ B ⋂ A ˉ = A ⋂ A ˉ = ∅ a c c o r d i n g t o 有限可加性 , i t h a s P ( B ) = P ( A ⋃ ( B − A ) ) = P ( A ) + P ( B − A ) t h e r e f o r e g e t t i n g P ( B ) − P ( A ) = P ( B − A ) i n a d d i t i o n t h a n k s t o P ( B − A ) ≥ 0 , s o P ( B ) ≥ P ( A ) ∗ ∗ 注：不满足包含关系的事件 A 和 B 不一定成立 ∗ ∗ 3、设A\subset B,则have\ P\left ( B-A \right )=P\left ( B \right )-P\left ( A \right ),and\ P\left ( B \right )\geq P\left ( A \right )\\ 证明：A\bigcup \left ( B-A \right )=A\bigcup \left ( B\bigcap \bar{A} \right )\\=\left ( A\bigcup B \right )\bigcap \left ( A\bigcup \bar{A} \right )=\left ( A\bigcup B \right )\bigcap S\\ \because A\subset B\\\therefore\left ( A\bigcup B \right )\bigcap \left ( A\bigcup \bar{A} \right )=B\bigcap S=B\\ 又\because A\bigcap \left ( B-A \right )=A\bigcap B\bigcap \bar{A}=A\bigcap \bar{A}=\varnothing\\ according\ to 有限可加性,\\it\ has\ P\left ( B \right )= P\left ( A\bigcup \left ( B-A \right ) \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B-A \right )\\ therefore\ getting\ P\left ( B \right )-P\left ( A \right )=P\left ( B-A \right )\\ in\ addition\ thanks\ to\ P\left ( B-A \right )\geq 0,so\ P\left ( B \right )\geq P\left ( A \right )\\ **注：不满足包含关系的事件A和B不一定成立** 3、设A⊂B,则have P(B−A)=P(B)−P(A),and P(B)≥P(A)证明：A⋃(B−A)=A⋃(B⋂Aˉ)=(A⋃B)⋂(A⋃Aˉ)=(A⋃B)⋂S∵A⊂B∴(A⋃B)⋂(A⋃Aˉ)=B⋂S=B又∵A⋂(B−A)=A⋂B⋂Aˉ=A⋂Aˉ=∅according to有限可加性,it has P(B)=P(A⋃(B−A))=P(A)+P(B−A)therefore getting P(B)−P(A)=P(B−A)in addition thanks to P(B−A)≥0,so P(B)≥P(A)∗∗注：不满足包含关系的事件A和B不一定成立∗∗ 4 、加法公式： P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) 证： ∵ A ⋃ ( B − A ) = A ⋃ ( B ⋂ A ˉ ) = ( A ⋃ B ) ⋂ ( A ⋃ A ˉ ) = ( A ⋃ B ) ⋂ S = A ⋃ B ∴ P ( A ⋃ B ) = P ( A ⋃ ( B − A ) ) 又 ∵ A ⋂ ( B − A ) = A ⋂ B ⋂ A ˉ = ∅ ∴ A , ( B − A ) 互不相容 ; 及概率可加性，得 P ( A ⋃ ( B − A ) ) = P ( A ) + P ( B − A ) I n a d d i t i o n , B − A B = B ⋂ A B ‾ = B ⋂ ( A ⋂ B ) ‾ = B ⋂ ( A ˉ ⋃ B ˉ ) = ( B ⋂ A ˉ ) ⋃ ( B ⋂ B ˉ ) = B ⋂ A ˉ = B − A . ∴ P ( B − A ) = P ( B ⋂ A ˉ ) = P ( B ⋂ ( S − A ) ) = P ( B − A B ) = P ( B ) − P ( A B ) ∵ A B ⊂ B ， t h e r e f o r e P ( A ⋃ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) 三个事件加法公式： P ( A ⋃ B ⋃ C ) = P ( A ) + P ( B ) + P ( C ) − P ( A B ) − P ( A C ) − P ( B C ) + P ( A B C ) 4、加法公式：P\left ( A\bigcup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )-P\left ( AB \right )\\ 证：\because A\bigcup \left ( B-A \right )=A\bigcup \left ( B\bigcap \bar{A} \right )\\=\left ( A\bigcup B \right )\bigcap \left ( A\bigcup \bar{A} \right ) =\left ( A\bigcup B \right )\bigcap S=A\bigcup B\\ \therefore P\left ( A\bigcup B \right )=P\left ( A\bigcup \left ( B-A \right ) \right )\\ 又\because A\bigcap \left ( B-A \right )=A\bigcap B\bigcap \bar{A}=\varnothing \therefore A,\left ( B-A \right )互不相容;\\及概率 可加性，得P\left ( A\bigcup \left ( B-A \right ) \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B-A \right )\\ In\ addition,B-AB=B\bigcap \overline{AB}=B\bigcap \overline{\left ( A\bigcap B \right )}\\=B\bigcap \left ( \bar{A}\bigcup \bar{B} \right )=\left ( B\bigcap \bar{A} \right )\bigcup \left ( B\bigcap \bar{B} \right )=B\bigcap \bar{A}=B-A.\\\therefore P\left ( B-A \right )=P\left ( B\bigcap \bar{A} \right )=P\left ( B\bigcap \left (S-A \right ) \right )\\=P\left ( B-AB \right )=P\left ( B\right )-P\left ( AB\right )\\ \because AB\subset B\ ，therefore\ P\left ( A\bigcup B \right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )-P\left ( AB \right )\\三个事件加法公式：\\P\left ( A\bigcup B\bigcup C\right )=P\left ( A \right )+P\left ( B \right )+P\left ( C \right )-P\left ( AB \right )-P\left ( AC \right )-P\left ( BC \right )+P\left ( ABC \right ) 4、加法公式：P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(AB)证：∵A⋃(B−A)=A⋃(B⋂Aˉ)=(A⋃B)⋂(A⋃Aˉ)=(A⋃B)⋂S=A⋃B∴P(A⋃B)=P(A⋃(B−A))又∵A⋂(B−A)=A⋂B⋂Aˉ=∅∴A,(B−A)互不相容;及概率可加性，得P(A⋃(B−A))=P(A)+P(B−A)In addition,B−AB=B⋂AB=B⋂(A⋂B)=B⋂(Aˉ⋃Bˉ)=(B⋂Aˉ)⋃(B⋂Bˉ)=B⋂Aˉ=B−A.∴P(B−A)=P(B⋂Aˉ)=P(B⋂(S−A))=P(B−AB)=P(B)−P(AB)∵AB⊂B ，therefore P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(AB)三个事件加法公式：P(A⋃B⋃C)=P(A)+P(B)+P(C)−P(AB)−P(AC)−P(BC)+P(ABC)
离散型随机变量
定义：随机变量取有限或可列无穷个值 定义：随机变量取有限或可列无穷个值 定义：随机变量取有限或可列无穷个值 离散型随机变量 X 的概率分布律 : 离散型随机变量 X的概率分布律: 离散型随机变量X的概率分布律: 设离散型随机变量 X 的全部取值为 x k ( k = 1 , 2 , 3 , . . . ) , 其相应概率分别为 p 1 , p 2 , . . . , p k , . . . , 则 P { X = x k } = p k , k = 1 , 2 , . . . , 设离散型随机变量 X的全部取值为x_{k}\left ( k=1,2,3,... \right ),其相应概率分别为\\ p_{1},p_{2},...,p_{k},...,则P\left \{ X=x_{k} \right \}=p_{k},\ k=1,2,...,\\ 设离散型随机变量X的全部取值为xk(k=1,2,3,...),其相应概率分别为p1,p2,...,pk,...,则P{X=xk}=pk, k=1,2,...,
列表形式
| X | x1 | x2 | … | xk | … |
|---|---|---|---|---|---|
| P{X=xk} | p1 | p2 | … | pk | … |
性质 : 性质: 性质: ( 1 ) p k ≥ 0 ( k = 1 , 2 , 3 , . . . ) ; ( 2 ) ∑ k = 1 ∞ p k = 1 ; 并且，对一维区域 A ，随机变量 X 取值于 A 的概率为 P { X ∈ A } = ∑ x k ∈ A p k (1)\ p_{k}\geq 0\left ( k=1,2,3,... \right );\\(2)\sum_{k=1}^{\infty }p_{k}=1;\\并且，对一维区域A，随机变量 X取值于A的概率为P\left \{ X\in A \right \}=\sum_{x_{k}\in A}^{}p_{k} (1) pk≥0(k=1,2,3,...);(2)k=1∑∞pk=1;并且，对一维区域A，随机变量X取值于A的概率为P{X∈A}=xk∈A∑pk
1 、两点分布 : 1、两点分布: 1、两点分布: 一次伯努利试验中某个事件发生的次数， 次数为 1 表示事件发生，次数为 0 表示事件不发生 ; 可看作二项分布 n = 1 时，记为 X ∼ B ( 1 , p ) . 一次伯努利试验中某个事件发生的次数，\\次数为1表示事件发生，次数为0表示事件不发生;\\ 可看作二项分布n=1时，记为X\sim B\left ( 1,p \right ). 一次伯努利试验中某个事件发生的次数，次数为1表示事件发生，次数为0表示事件不发生;可看作二项分布n=1时，记为X∼B(1,p). X 服从两点分布 / ( 0 − 1 ) 分布： X服从两点分布/(0-1)分布： X服从两点分布/(0−1)分布： 离散型随机变量 X 的概率分布律为 P { X = k } = p k ( 1 − p ) 1 − k , k = 0 , 1 ; 0 < p < 1 离散型随机变量 X的概率分布律为\\ P\left \{ X=k \right \}=p^{k}\left ( 1-p \right )^{1-k},k=0,1;0< p< 1\\ 离散型随机变量X的概率分布律为P{X=k}=pk(1−p)1−k,k=0,1;0<p<1 或 或 或
| X | 0 | 1 |
|---|---|---|
| pk | 1-p | p |
2 、二项分布： 2、二项分布： 2、二项分布： n 次伯努利试验中某个事件发生的次数 ; n次伯努利试验中某个事件发生的次数; n次伯努利试验中某个事件发生的次数; X 服从参数为 n , p 的二项分布，记为 X ∼ B ( n , p ) : 随机变量 X 具有分布律 P { X = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , . . . , n ; 0 < p < 1 X服从参数为n,p的二项分布，记为X\sim B\left ( n,p \right ):\\随机变量 X具有分布律\\P\left \{ X=k \right \}=C_{n}^{k}p^{k}\left ( 1-p \right )^{n-k},k=0,1,...,n;0< p< 1 X服从参数为n,p的二项分布，记为X∼B(n,p):随机变量X具有分布律P{X=k}=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,...,n;0<p<1 3 、几何分布： 3、几何分布： 3、几何分布： 伯努利试验中某个事件首次发生需要的试验次数； 伯努利试验中某个事件首次发生需要的试验次数； 伯努利试验中某个事件首次发生需要的试验次数； X 服从参数为 p 的几何分布，记为 X ∼ G ( p ) : 随机变量 X 具有分布律 P { X = k } = p ( 1 − p ) k − 1 , k = 0 , 1 , . . . ; 0 < p < 1 X服从参数为p的几何分布，记为X\sim G\left ( p \right ):\\随机变量 X具有分布律\\P\left \{ X=k \right \}=p\left ( 1-p \right )^{k-1},k=0,1,...;0< p< 1 X服从参数为p的几何分布，记为X∼G(p):随机变量X具有分布律P{X=k}=p(1−p)k−1,k=0,1,...;0<p<1