2.3 matlab矩阵求值（矩阵的行列式值、矩阵的秩、矩阵的积、矩阵的范数和矩阵的条件数）
1、方阵的行列式
把一个方阵看作一个行列式，并对其按行列式的规则求值，这个值就称为方阵所对应的行列式的值。det(A)：求方阵A所对应的行列式的值。
>> format rat;
>> a = [1 2 3;-3 -5 4;-5 9 1]
a =
1 2 3
-3 -5 4
-5 9 1
>> det(inv(a))
ans =
-1/231
>> 1/det(a)
ans =
-1/231
2、矩阵的秩
for n = 3:20
r(n) = rank(magic(n));
end
bar(r)
grid on
axis([2,21,0,20])
n=3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
r =3 3 5 5 7 3 9 7 11 3 13 9 15 3 17 11 19 3
①奇数阶魔方阵秩为η,即奇数阶魔方阵是满秩矩阵；②重偶数阶魔方阵秩为n2+2(n是2的倍数,但非4的倍数)；③双重偶数阶魔方阵秩均为3(阶数是4的倍数)。
3、矩阵的迹
矩阵的迹等于矩阵的对角线元素之和，也等于矩阵的特征值之和。trace(A):求矩阵A的迹。
>> a = [1 2 3;-3 -5 4;-5 9 1]
a =
1 2 3
-3 -5 4
-5 9 1
>> b = trace(a)
b =
-3
>> b = sum(diag(a)) *可先提取矩阵的对角线元素，再进行求和
b =
-3
4、矩阵和向量的范数
（1）向量的3种范数
①向量1—范数:向量元素的绝对值之和。
②向量2—范数:向量元素绝对值的平方和的平方根。
③向量∞—范数:所有向量元素绝对值中的最大值。
（2）矩阵的3种范数
①矩阵A的1—范数:矩阵列元素绝对值之和的最大值。
②矩阵A的2—范数:A’A矩阵的最大特征值的平方根。
③矩阵A的oo—范数:所有矩阵行元素绝对值之和的最大值。
矩阵和向量的范数求法一致：
①norm(V)或norm(V,2):计算2—范数。
②norm(V,1): 计算1—范数。
③norm(V,inf):计算∞—范数。
例
>> a = [1 2 3;-3 -5 4;-5 9 1]
a =
1 2 3
-3 -5 4
-5 9 1
>> b = norm(a,1) *矩阵1范数
b =
16
>> b = norm(a) *矩阵2范数
b =
10.9225
>> b = norm(a,inf) *矩阵∞范数
b =
15
5、矩阵的条件数
矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆矩阵的范数的乘积。
条件数越接近于1，矩阵的性能越好，反之，矩阵的性能越差。
在MATLAB中，计算矩阵A的3种条件数的函数是:
①cond(A,1):计算A的1—范数下的条件数。
②cond(A)或cond(A,2):计算A的2—范数下的条件数。
③cond(A,inf):计算A的○o—范数下的条件数。
for n = 2:10
r(n) = cond(hilb(n));
end
format long
r'
ans =
1.0e+13 *
0
0.000000000001928
0.000000000052406
0.000000001551374
0.000000047660725
0.000001495105864
0.000047536735691
0.001525757556663
0.049315340455101
1.602502816811318
0.000000000001100
0.000000000000300
0.000000000001300
0.000000000000900
0.000000000001500
0.000000000000300
0.000000000001700
0.000000000001100
0.000000000001900
0.000000000000300
希尔伯特矩阵的条件数不断增大，矩阵性能变差