李永乐复习全书线性代数 第六章 二次型

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    • 例8  设 A = [ a 1 a 2 a 3 ] , B = [ a 3 a 1 a 2 ] \bm{A}=\begin{bmatrix}a_1&&\\&a_2&\\&&a_3\end{bmatrix},\bm{B}=\begin{bmatrix}a_3&&\\&a_1&\\&&a_2\end{bmatrix} A=a1a2a3,B=a3a1a2,问 A , B \bm{A},\bm{B} A,B是否合同,若合同,求可逆矩阵 C \bm{C} C,使得 C T A C = B \bm{C}^\mathrm{T}\bm{AC}=\bm{B} CTAC=B
    • 例11  设 n n n元二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = ( a x 1 + b x 2 ) 2 + ( a x 2 + b x 3 ) 2 + ⋯ ( a x n − 1 + b x n ) 2 + ( a x n + b x 1 ) 2 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(ax_1+bx_2)^2+(ax_2+bx_3)^2+\cdots(ax_{n-1}+bx_n)^2+(ax_n+bx_1)^2 f(x1,x2,,xn)=(ax1+bx2)2+(ax2+bx3)2+(axn1+bxn)2+(axn+bx1)2,问 a , b a,b a,b满足什么条件时,二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) f(x_1,x_2,\cdots,x_n) f(x1,x2,,xn)正定。
    • 例13   A \bm{A} A n n n阶正定矩阵。
      • (2) C \bm{C} C n × m n\times m n×m矩阵,且 r ( C ) = m r(\bm{C})=m r(C)=m,证明 C T A C \bm{C}^\mathrm{T}\bm{AC} CTAC也是正定矩阵。
    • 例15  设 A \bm{A} A n n n阶正定矩阵。 ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n \bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2,\cdots,\bm{\xi}_n ξ1,ξ2,,ξn n n n维非零列向量,满足 ξ i T A ξ j = 0 ( i ≠ j ) \bm{\xi}_i^\mathrm{T}\bm{A\xi}_j=0(i\ne j) ξiTAξj=0(i=j),证明 B = [ ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n ] \bm{B}=[\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2,\cdots,\bm{\xi}_n] B=[ξ1,ξ2,,ξn]是可逆矩阵。
    • 例17  设 A \bm{A} A是三阶实对称矩阵,满足 A 2 + A − 2 E = O \bm{A}^2+\bm{A}-2\bm{E}=\bm{O} A2+A2E=O,且 r ( A − E ) = 2 r(\bm{A}-\bm{E})=2 r(AE)=2。求一个三维向量 ξ \bm{\xi} ξ,使得二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x f(x_1,x_2,x_3)=\bm{x}^\mathrm{T}\bm{Ax} f(x1,x2,x3)=xTAx ξ \bm{\xi} ξ处的值为零,即求 ξ \bm{\xi} ξ,使得 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∣ x = ξ = x T A x ∣ x = ξ = ξ T A ξ = 0 f(x_1,x_2,x_3)\biggm\vert_{\bm{x}=\bm{\xi}}=\bm{x}^\mathrm{T}\bm{Ax}\biggm\vert_{\bm{x}=\bm{\xi}}=\bm{\xi}^\mathrm{T}\bm{A\xi}=0 f(x1,x2,x3)x=ξ=xTAxx=ξ=ξTAξ=0
  • 写在最后

例8  设 A = [ a 1 a 2 a 3 ] , B = [ a 3 a 1 a 2 ] \bm{A}=\begin{bmatrix}a_1&&\\&a_2&\\&&a_3\end{bmatrix},\bm{B}=\begin{bmatrix}a_3&&\\&a_1&\\&&a_2\end{bmatrix} A=a1a2a3,B=a3a1a2,问 A , B \bm{A},\bm{B} A,B是否合同,若合同,求可逆矩阵 C \bm{C} C,使得 C T A C = B \bm{C}^\mathrm{T}\bm{AC}=\bm{B} CTAC=B

   A , B \bm{A},\bm{B} A,B均为对角阵,它们对应的二次型有相同的正、负惯性系数,故 A ≃ B \bm{A}\simeq\bm{B} AB,下面可求可逆矩阵 C \bm{C} C,使得 C T A C = B \bm{C}^\mathrm{T}\bm{AC}=\bm{B} CTAC=B
  作可逆线性变换将 A \bm{A} A对应的二次型化成 B \bm{B} B对应的二次型 f = x T A x = a 1 x 1 2 + a 2 x 2 2 + a 3 x 3 2 = [ x 1 x 2 x 3 ] [ a 1 a 2 a 3 ] [ x 1 x 2 x 3 ] f=\bm{x}^\mathrm{T}\bm{Ax}=a_1x_1^2+a_2x_2^2+a_3x_3^2=\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1&&\\&a_2&\\&&a_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix} f=xTAx=a1x12+a2x22+a3x32=[x1x2x3]a1a2a3x1x2x3
  令 { x 1 = y 2 , x 2 = y 3 , x 3 = y 1 , \begin{cases}x_1=y_2,\\x_2=y_3,\\x_3=y_1,\end{cases} x1=y2,x2=y3,x3=y1, [ x 1 x 2 x 3 ] = [ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] [ y 1 y 2 y 3 ] = C y \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{bmatrix}=\bm{Cy} x1x2x3=001100010y1y2y3=Cy,得 f = x T A x = C y T A C y = y T ( C T A C ) y = a 3 y 1 2 + a 1 y 2 2 + a 2 y 3 2 f=\bm{x}^\mathrm{T}\bm{Ax}=\bm{Cy}^\mathrm{T}\bm{ACy}=\bm{y}^\mathrm{T}(\bm{C}^\mathrm{T}\bm{AC})\bm{y}=a_3y_1^2+a_1y_2^2+a_2y_3^2 f=xTAx=CyTACy=yT(CTAC)y=a3y12+a1y22+a2y32,其中 C = [ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] \bm{C}=\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix} C=001100010,且有 C T A C = [ 0 1 0 1 0 0 0 1 0 ] [ a 1 a 2 a 3 ] [ 0 1 0 0 0 1 1 0 0 ] = [ a 3 a 1 a 2 ] = B \bm{C}^\mathrm{T}\bm{AC}=\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1&&\\&a_2&\\&&a_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_3&&\\&a_1&\\&&a_2\end{bmatrix}=\bm{B} CTAC=010101000a1a2a3001100010=a3a1a2=B。(这道题主要利用了变量代换求解

例11  设 n n n元二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = ( a x 1 + b x 2 ) 2 + ( a x 2 + b x 3 ) 2 + ⋯ ( a x n − 1 + b x n ) 2 + ( a x n + b x 1 ) 2 f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=(ax_1+bx_2)^2+(ax_2+bx_3)^2+\cdots(ax_{n-1}+bx_n)^2+(ax_n+bx_1)^2 f(x1,x2,,xn)=(ax1+bx2)2+(ax2+bx3)2+(axn1+bxn)2+(axn+bx1)2,问 a , b a,b a,b满足什么条件时,二次型 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) f(x_1,x_2,\cdots,x_n) f(x1,x2,,xn)正定。

   f f f是正的平方和,故对任意 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,\cdots,x_n x1,x2,,xn,均有 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) ⩾ 0 , f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) = 0 ⇔ { a x 1 + b x 2 = 0 , a x 2 + b x 3 = 0 , ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ a x n − 1 + b x n = 0 , a x n + b x 1 = 0. f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\geqslant0,f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0\Leftrightarrow\begin{cases}ax_1+bx_2=0,\\ax_2+bx_3=0,\\\cdots\cdots\cdots\cdots\\ax_{n-1}+bx_n=0,\\ax_n+bx_1=0.\end{cases} f(x1,x2,,xn)0,f(x1,x2,,xn)=0ax1+bx2=0,ax2+bx3=0,axn1+bxn=0,axn+bx1=0.
  方程组只有零解的充要条件是其系数行列式 ∣ a b 0 ⋯ 0 0 0 a b ⋯ 0 0 0 0 a ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ a b b 0 0 ⋯ 0 a ∣ = a n + ( − 1 ) n + 1 b n ≠ 0 \begin{vmatrix}a&b&0&\cdots&0&0\\0&a&b&\cdots&0&0\\0&0&a&\cdots&0&0\\\vdots&\vdots&\vdots&&\vdots&\vdots\\0&0&0&\cdots&a&b\\b&0&0&\cdots&0&a\end{vmatrix}=a^n+(-1)^{n+1}b^n\ne0 a000bba0000ba00000a0000ba=an+(1)n+1bn=0,即 a n ≠ ( − b ) n a^n\ne(-b)^n an=(b)n
  当 n = 2 k n=2k n=2k时,即 a ≠ ± b a\ne\pm b a=±b,当 n = 2 k + 1 n=2k+1 n=2k+1时,即 a ≠ − b a\ne-b a=b,只有零解,故当 x = [ x 1 , x 2 , ⋯   , x n ] T \bm{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^\mathrm{T} x=[x1,x2,,xn]T时,有 f ( x 1 , x 2 , ⋯   , x n ) f(x_1,x_2,\cdots,x_n) f(x1,x2,,xn),二次型 f f f为正定二次型。(这道题主要利用了构造矩阵求解

例13   A \bm{A} A n n n阶正定矩阵。

(2) C \bm{C} C n × m n\times m n×m矩阵,且 r ( C ) = m r(\bm{C})=m r(C)=m,证明 C T A C \bm{C}^\mathrm{T}\bm{AC} CTAC也是正定矩阵。

  因 ( C T A B ) T = C T A T ( C T ) T = C T A B (\bm{C}^\mathrm{T}\bm{AB})^\mathrm{T}=\bm{C}^\mathrm{T}\bm{A}^\mathrm{T}(\bm{C}^\mathrm{T})^\mathrm{T}=\bm{C}^\mathrm{T}\bm{AB} (CTAB)T=CTAT(CT)T=CTAB,故 C T A B \bm{C}^\mathrm{T}\bm{AB} CTAB也是对称阵。又 r ( C n × m ) = m r(\bm{C}_{n\times m})=m r(Cn×m)=m,将按列分块设为 C = [ γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ m ] \bm{C}=[\bm{\gamma}_1,\bm{\gamma}_2,\cdots,\bm{\gamma}_m] C=[γ1,γ2,,γm],则 γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ m \bm{\gamma}_1,\bm{\gamma}_2,\cdots,\bm{\gamma}_m γ1,γ2,,γm线性无关。对任给 x = [ x 1 , x 2 , ⋯   , x m ] T ≠ 0 \bm{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_m]^\mathrm{T}\ne\bm{0} x=[x1,x2,,xm]T=0,有 C x = ( γ 1 , γ 2 , ⋯   , γ m ) [ x 1 x 2 ⋮ x n ] = x 1 γ 1 + x 2 γ 2 + ⋯ + x m γ m ≠ 0 \bm{Cx}=(\bm{\gamma}_1,\bm{\gamma}_2,\cdots,\bm{\gamma}_m)\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{bmatrix}=x_1\bm{\gamma}_1+x_2\bm{\gamma}_2+\cdots+x_m\bm{\gamma}_m\ne\bm{0} Cx=(γ1,γ2,,γm)x1x2xn=x1γ1+x2γ2++xmγm=0
  而 A \bm{A} A是正定矩阵,故对任意的 x = [ x 1 , x 2 , ⋯   , x m ] T ≠ 0 \bm{x}=[x_1,x_2,\cdots,x_m]^\mathrm{T}\ne\bm{0} x=[x1,x2,,xm]T=0,有 C x ≠ 0 \bm{Cx}\ne\bm{0} Cx=0,恒有 x T ( C T A C ) x = ( C x ) T A ( C x ) > 0 \bm{x}^\mathrm{T}(\bm{C}^\mathrm{T}\bm{AC})\bm{x}=(\bm{Cx})^\mathrm{T}\bm{A}(\bm{Cx})>0 xT(CTAC)x=(Cx)TA(Cx)>0,故 C T A C \bm{C}^\mathrm{T}\bm{AC} CTAC是正定矩阵。(这道题主要利用了向量的线性无关性求解

例15  设 A \bm{A} A n n n阶正定矩阵。 ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n \bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2,\cdots,\bm{\xi}_n ξ1,ξ2,,ξn n n n维非零列向量,满足 ξ i T A ξ j = 0 ( i ≠ j ) \bm{\xi}_i^\mathrm{T}\bm{A\xi}_j=0(i\ne j) ξiTAξj=0(i=j),证明 B = [ ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n ] \bm{B}=[\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2,\cdots,\bm{\xi}_n] B=[ξ1,ξ2,,ξn]是可逆矩阵。

  利用定义证明 ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n \bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2,\cdots,\bm{\xi}_n ξ1,ξ2,,ξn线性无关。若 k 1 ξ 1 + k 2 ξ 2 + ⋯ + k n ξ n = 0 k_1\bm{\xi}_1+k_2\bm{\xi}_2+\cdots+k_n\bm{\xi}_n=\bm{0} k1ξ1+k2ξ2++knξn=0,两边左乘 ξ i T A ( i = 1 , 2 , ⋯   , n ) \bm{\xi}_i^\mathrm{T}\bm{A}(i=1,2,\cdots,n) ξiTA(i=1,2,,n),有 k 1 ξ i T A ξ 1 + k 2 ξ i T A ξ 2 + ⋯ + k i ξ i T A ξ i + ⋯ + k n ξ i T A ξ n = 0 k_1\bm{\xi}_i^\mathrm{T}\bm{A\xi}_1+k_2\bm{\xi}_i^\mathrm{T}\bm{A\xi}_2+\cdots+k_i\bm{\xi}_i^\mathrm{T}\bm{A\xi}_i+\cdots+k_n\bm{\xi}_i^\mathrm{T}\bm{A\xi}_n=\bm{0} k1ξiTAξ1+k2ξiTAξ2++kiξiTAξi++knξiTAξn=0。由已知 ξ i T A ξ j = 0 ( i ≠ j ) \bm{\xi}_i^\mathrm{T}\bm{A\xi}_j=0(i\ne j) ξiTAξj=0(i=j),又 A \bm{A} A是正定矩阵, ξ i T A ξ i > 0 \bm{\xi}_i^\mathrm{T}\bm{A\xi}_i>0 ξiTAξi>0,故有 k i = 0 , i = 1 , 2 , ⋯   , n k_i=0,i=1,2,\cdots,n ki=0,i=1,2,,n,即 ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n \bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2,\cdots,\bm{\xi}_n ξ1,ξ2,,ξn线性无关。故 B = [ ξ 1 , ξ 2 , ⋯   , ξ n ] \bm{B}=[\bm{\xi}_1,\bm{\xi}_2,\cdots,\bm{\xi}_n] B=[ξ1,ξ2,,ξn]是可逆矩阵。(这道题主要利用了线性无关的定义求解

例17  设 A \bm{A} A是三阶实对称矩阵,满足 A 2 + A − 2 E = O \bm{A}^2+\bm{A}-2\bm{E}=\bm{O} A2+A2E=O,且 r ( A − E ) = 2 r(\bm{A}-\bm{E})=2 r(AE)=2。求一个三维向量 ξ \bm{\xi} ξ,使得二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = x T A x f(x_1,x_2,x_3)=\bm{x}^\mathrm{T}\bm{Ax} f(x1,x2,x3)=xTAx ξ \bm{\xi} ξ处的值为零,即求 ξ \bm{\xi} ξ,使得 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∣ x = ξ = x T A x ∣ x = ξ = ξ T A ξ = 0 f(x_1,x_2,x_3)\biggm\vert_{\bm{x}=\bm{\xi}}=\bm{x}^\mathrm{T}\bm{Ax}\biggm\vert_{\bm{x}=\bm{\xi}}=\bm{\xi}^\mathrm{T}\bm{A\xi}=0 f(x1,x2,x3)x=ξ=xTAxx=ξ=ξTAξ=0

  由 A 2 + A − 2 E = O \bm{A}^2+\bm{A}-2\bm{E}=\bm{O} A2+A2E=O ( A + 2 E ) ( A − E ) = O , r ( A + 2 E ) + r ( A − E ) ⩽ 3 (\bm{A}+2\bm{E})(\bm{A}-\bm{E})=\bm{O},r(\bm{A}+2\bm{E})+r(\bm{A}-\bm{E})\leqslant3 (A+2E)(AE)=O,r(A+2E)+r(AE)3
  又因 r ( A − E ) = 2 r(\bm{A}-\bm{E})=2 r(AE)=2,故 r ( A + 2 E ) ⩽ 1 r(\bm{A}+2\bm{E})\leqslant1 r(A+2E)1,但 A ≠ − 2 E \bm{A}\ne-2\bm{E} A=2E。(若 A = − 2 E \bm{A}=-2\bm{E} A=2E,则 r ( A − E ) = r ( − 3 E ) = 3 ≠ 2 r(\bm{A}-\bm{E})=r(-3\bm{E})=3\ne2 r(AE)=r(3E)=3=2,这和已知矛盾)故 r ( A + 2 E ) = 1 r(\bm{A}+2\bm{E})=1 r(A+2E)=1
  由 r ( A − E ) = 2 r(\bm{A}-\bm{E})=2 r(AE)=2,故 ( E − A ) x = 0 (\bm{E}-\bm{A})\bm{x}=\bm{0} (EA)x=0的基础解只有一个非零解(即 A \bm{A} A的对应于 λ = 1 \lambda=1 λ=1的特征向量只有一个)。取单位非零解 α 1 \bm{\alpha}_1 α1,其中 ∣ α 1 ∣ = 1 |\bm{\alpha}_1|=1 α1=1,有 A α 1 = α 1 \bm{A\alpha}_1=\bm{\alpha}_1 Aα1=α1
  由 r ( A + 2 E ) = 1 r(\bm{A}+2\bm{E})=1 r(A+2E)=1 ( 2 E + A ) x = 0 (2\bm{E}+\bm{A})\bm{x}=\bm{0} (2E+A)x=0有两个线性无关解,即 A \bm{A} A的对应于 λ = − 2 \lambda=-2 λ=2的特征向量,取两个线性无关的单位特征向量为 α 2 , α 3 \bm{\alpha}_2,\bm{\alpha}_3 α2,α3,即 ∣ α 2 ∣ = ∣ α 3 ∣ = 1 |\bm{\alpha}_2|=|\bm{\alpha}_3|=1 α2=α3=1,有 A α 2 = − 2 α 2 , A α 3 = − 2 α 3 \bm{A\alpha}_2=-2\bm{\alpha}_2,\bm{A\alpha}_3=-2\bm{\alpha}_3 Aα2=2α2,Aα3=2α3。且不同特征值对应的特征向量相互正交,即 ( α 1 , α 2 ) = ( α 1 , α 3 ) = 0 (\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_2)=(\bm{\alpha}_1,\bm{\alpha}_3)=0 (α1,α2)=(α1,α3)=0
  取 ξ = 2 α 1 + α 2 \bm{\xi}=\sqrt{2}\bm{\alpha}_1+\bm{\alpha}_2 ξ=2 α1+α2(或 2 α 1 + α 3 \sqrt{2}\bm{\alpha}_1+\bm{\alpha}_3 2 α1+α3),则
f ( x 1 , x 2 , x 3 ) ∣ x = 2 α 1 + α 2 = x T A x ∣ x = 2 α 1 + α 2 = ( 2 α 1 + α 2 ) T A ( 2 α 1 + α 2 ) = 2 α 1 T A 2 α 1 + 2 α 1 T A α 2 + α 2 T A 2 α 1 + α 2 T A α 2 = 2 + 0 + 0 − 2 = 0. \begin{aligned} f(x_1,x_2,x_3)\biggm\vert_{\bm{x}=\sqrt{2}\bm{\alpha}_1+\bm{\alpha}_2}&=\bm{x}^\mathrm{T}\bm{Ax}\biggm\vert_{\bm{x}=\sqrt{2}\bm{\alpha}_1+\bm{\alpha}_2}=(\sqrt{2}\bm{\alpha}_1+\bm{\alpha}_2)^\mathrm{T}\bm{A}(\sqrt{2}\bm{\alpha}_1+\bm{\alpha}_2)\\ &=\sqrt{2}\bm{\alpha}_1^\mathrm{T}\bm{A}\sqrt{2}\bm{\alpha}_1+\sqrt{2}\bm{\alpha}_1^\mathrm{T}\bm{A}\bm{\alpha}_2+\bm{\alpha}_2^\mathrm{T}\bm{A}\sqrt{2}\bm{\alpha}_1+\bm{\alpha}_2^\mathrm{T}\bm{A}\bm{\alpha}_2\\ &=2+0+0-2=0. \end{aligned} f(x1,x2,x3)x=2 α1+α2=xTAxx=2 α1+α2=(2 α1+α2)TA(2 α1+α2)=2 α1TA2 α1+2 α1TAα2+α2TA2 α1+α2TAα2=2+0+02=0.
这道题主要利用了特征向量求解

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