李永乐复习全书线性代数 第六章 二次型

例8  设$\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& & \\ & a_2& \\ & & a_3\end{array}\right],\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccc}{a}_3& & \\ & a_1& \\ & & a_2\end{array}\right]$，问$\mathbf{A},\mathbf{B}$是否合同，若合同，求可逆矩阵$\mathbf{C}$，使得${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{C}=\mathbf{B}$。

解  $\mathbf{A},\mathbf{B}$均为对角阵，它们对应的二次型有相同的正、负惯性系数，故$\mathbf{A}\simeq \mathbf{B}$，下面可求可逆矩阵$\mathbf{C}$，使得${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{C}=\mathbf{B}$。
  作可逆线性变换将$\mathbf{A}$对应的二次型化成$\mathbf{B}$对应的二次型$f={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}=a_1{x}_1^2+a_2{x}_2^2+a_3{x}_3^2=\left[\begin{array}{ccc}{x}_1& x_2& x_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& & \\ & a_2& \\ & & a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]$。
  令$\{\begin{array}{l}{x}_1=y_2,\\ x_2=y_3,\\ x_3=y_1,\end{array}$即$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right]=\mathbf{C}\mathbf{y}$，得$f={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}={\mathbf{C}\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{C}\mathbf{y}={\mathbf{y}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{C})\mathbf{y}=a_3{y}_1^2+a_1{y}_2^2+a_2{y}_3^2$，其中$\mathbf{C}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]$，且有${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{C}=\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& & \\ & a_2& \\ & & a_3\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 1& 0& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{a}_3& & \\ & a_1& \\ & & a_2\end{array}\right]=\mathbf{B}$。（这道题主要利用了变量代换求解）

例11  设$n$元二次型$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=(a{x}_1+b{x}_2{)}^2+(a{x}_2+b{x}_3{)}^2+\cdots (a{x}_{n-1}+b{x}_n{)}^2+(a{x}_n+b{x}_1{)}^2$，问$a,b$满足什么条件时，二次型$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$正定。

解  $f$是正的平方和，故对任意$x_1,x_2,\cdots ,x_n$，均有$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)⩾0,f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)=0\iff \{\begin{array}{l}a{x}_1+b{x}_2=0,\\ a{x}_2+b{x}_3=0,\\ \cdots \cdots \cdots \cdots \\ a{x}_{n-1}+b{x}_n=0,\\ a{x}_n+b{x}_1=0.\end{array}$
  方程组只有零解的充要条件是其系数行列式$\left|\begin{array}{cccccc}a& b& 0& \cdots & 0& 0\\ 0& a& b& \cdots & 0& 0\\ 0& 0& a& \cdots & 0& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮& & ⋮& ⋮\\ 0& 0& 0& \cdots & a& b\\ b& 0& 0& \cdots & 0& a\end{array}\right|=a^n+(-1{)}^{n+1}{b}^n\ne 0$，即$a^n\ne (-b{)}^n$。
  当$n=2k$时，即$a\ne \pm b$，当$n=2k+1$时，即$a\ne -b$，只有零解，故当$\mathbf{x}=[x_1,x_2,\cdots ,x_n{]}^{\mathrm{T}}$时，有$f(x_1,x_2,\cdots ,x_n)$，二次型$f$为正定二次型。（这道题主要利用了构造矩阵求解）

例13  $\mathbf{A}$是$n$阶正定矩阵。

（2）$\mathbf{C}$是$n\times m$矩阵，且$r(\mathbf{C})=m$，证明${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{C}$也是正定矩阵。

证  因$({\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{B}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}={\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{B}$，故${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{B}$也是对称阵。又$r({\mathbf{C}}_{n\times m})=m$，将按列分块设为$\mathbf{C}=[{\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,\cdots ,{\mathbf{\gamma }}_m]$，则${\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,\cdots ,{\mathbf{\gamma }}_m$线性无关。对任给$\mathbf{x}=[x_1,x_2,\cdots ,x_m{]}^{\mathrm{T}}\ne 0$，有$\mathbf{C}\mathbf{x}=({\mathbf{\gamma }}_1,{\mathbf{\gamma }}_2,\cdots ,{\mathbf{\gamma }}_m)\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right]=x_1{\mathbf{\gamma }}_1+x_2{\mathbf{\gamma }}_2+\cdots +x_m{\mathbf{\gamma }}_m\ne 0$。
  而$\mathbf{A}$是正定矩阵，故对任意的$\mathbf{x}=[x_1,x_2,\cdots ,x_m{]}^{\mathrm{T}}\ne 0$，有$\mathbf{C}\mathbf{x}\ne 0$，恒有${\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{C})\mathbf{x}=(\mathbf{C}\mathbf{x}{)}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}(\mathbf{C}\mathbf{x})>0$，故${\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{C}$是正定矩阵。（这道题主要利用了向量的线性无关性求解）

例15  设$\mathbf{A}$是$n$阶正定矩阵。${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n$是$n$维非零列向量，满足${\mathbf{\xi }}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}\mathbf{\xi }}_j=0(i\ne j)$，证明$\mathbf{B}=[{\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n]$是可逆矩阵。

解  利用定义证明${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n$线性无关。若$k_1{\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_2+\cdots +k_n{\mathbf{\xi }}_n=0$，两边左乘${\mathbf{\xi }}_i^{\mathrm{T}}\mathbf{A}(i=1,2,\cdots ,n)$，有$k_1{\mathbf{\xi }}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}\mathbf{\xi }}_1+k_2{\mathbf{\xi }}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}\mathbf{\xi }}_2+\cdots +k_i{\mathbf{\xi }}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}\mathbf{\xi }}_i+\cdots +k_n{\mathbf{\xi }}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}\mathbf{\xi }}_n=0$。由已知${\mathbf{\xi }}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}\mathbf{\xi }}_j=0(i\ne j)$，又$\mathbf{A}$是正定矩阵，${\mathbf{\xi }}_i^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}\mathbf{\xi }}_i>0$，故有$k_i=0,i=1,2,\cdots ,n$，即${\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n$线性无关。故$\mathbf{B}=[{\mathbf{\xi }}_1,{\mathbf{\xi }}_2,\cdots ,{\mathbf{\xi }}_n]$是可逆矩阵。（这道题主要利用了线性无关的定义求解）

例17  设$\mathbf{A}$是三阶实对称矩阵，满足${\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}-2\mathbf{E}=\mathbf{O}$，且$r(\mathbf{A}-\mathbf{E})=2$。求一个三维向量$\mathbf{\xi }$，使得二次型$f(x_1,x_2,x_3)={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}$在$\mathbf{\xi }$处的值为零，即求$\mathbf{\xi }$，使得$f(x_1,x_2,x_3){|}_{\mathbf{x}=\mathbf{\xi }}={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}{|}_{\mathbf{x}=\mathbf{\xi }}={\mathbf{\xi }}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{\xi }=0$。

解  由${\mathbf{A}}^2+\mathbf{A}-2\mathbf{E}=\mathbf{O}$得$(\mathbf{A}+2\mathbf{E})(\mathbf{A}-\mathbf{E})=\mathbf{O},r(\mathbf{A}+2\mathbf{E})+r(\mathbf{A}-\mathbf{E})⩽3$。
  又因$r(\mathbf{A}-\mathbf{E})=2$，故$r(\mathbf{A}+2\mathbf{E})⩽1$，但$\mathbf{A}\ne -2\mathbf{E}$。（若$\mathbf{A}=-2\mathbf{E}$，则$r(\mathbf{A}-\mathbf{E})=r(-3\mathbf{E})=3\ne 2$，这和已知矛盾）故$r(\mathbf{A}+2\mathbf{E})=1$。
  由$r(\mathbf{A}-\mathbf{E})=2$，故$(\mathbf{E}-\mathbf{A})\mathbf{x}=0$的基础解只有一个非零解（即$\mathbf{A}$的对应于$\lambda =1$的特征向量只有一个）。取单位非零解${\mathbf{\alpha }}_1$，其中$|{\mathbf{\alpha }}_1|=1$，有${\mathbf{A}\mathbf{\alpha }}_1={\mathbf{\alpha }}_1$。
  由$r(\mathbf{A}+2\mathbf{E})=1$，$(2\mathbf{E}+\mathbf{A})\mathbf{x}=0$有两个线性无关解，即$\mathbf{A}$的对应于$\lambda =-2$的特征向量，取两个线性无关的单位特征向量为${\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{\alpha }}_3$，即$|{\mathbf{\alpha }}_2|=|{\mathbf{\alpha }}_3|=1$，有${\mathbf{A}\mathbf{\alpha }}_2=-2{\mathbf{\alpha }}_2,{\mathbf{A}\mathbf{\alpha }}_3=-2{\mathbf{\alpha }}_3$。且不同特征值对应的特征向量相互正交，即$({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2)=({\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_3)=0$。
  取$\mathbf{\xi }=\sqrt{2}{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2$（或$\sqrt{2}{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_3$），则
$$\begin{array}{rl}f(x_1,x_2,x_3){|}_{\mathbf{x}=\sqrt{2}{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2}& ={\mathbf{x}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\mathbf{x}{|}_{\mathbf{x}=\sqrt{2}{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2}=(\sqrt{2}{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2{)}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}(\sqrt{2}{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)\\ & =\sqrt{2}{\mathbf{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\sqrt{2}{\mathbf{\alpha }}_1+\sqrt{2}{\mathbf{\alpha }}_1^{\mathrm{T}}\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_2+{\mathbf{\alpha }}_2^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\sqrt{2}{\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2^{\mathrm{T}}\mathbf{A}{\mathbf{\alpha }}_2\\ & =2+0+0-2=0.\end{array}$$
（这道题主要利用了特征向量求解）

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