计算方法（五）函数插值

首先知道插值算法是用来图像缩放的。（图片放大，像素点增多，如何处理放大的更多像素点上的值）

1. 引入

1.1 最邻近插值算法

思路：新位置就照搬旁边的元素。

A是原图像，B是新图像（更大的），图像就是像素值的矩阵。

B中的一个值(B${}_x$,B${}_y$)怎么求：

A${}_x$=B${}_x$（A的列数 / B的列数）
A${}_y$=B${}_y$（A的行数 / B的行数）
如果结果有小数，那就四舍五入。

用(A${}_x$,A${}_y$)的值填入(B${}_x$,B${}_y$)

1.2 双线性插值算法

思路：在两个向量上分别进行一次线性插值。

我惊了老师ppt跟本没有这东西，看不看都行，不过挺简单的也不用背。

简单说一下吧，就是上面那种方法A${}_x$，A${}_y$的结果可能是小数，那么小数部分不要四舍五入。

因为正方形总面积是1，可以作为概率比例，用每个小方块的面积*对角的点在矩阵A的值。

2. 拉格朗日插值法

拉格朗日插值，这个视频一共就四分钟，看看之后再看这本书上讲的内容。

2.1 公式

通用

这尽量不要背，还是根据上面那个视频理解。

拉格朗日插值基函数：

拉格朗日多项式：

线性插值

也是上面那个公式，只不过线性就是只有两个点(n=1)而已：

抛物线插值

三个点(n=2)啦：

看一下例5.1和例5.2，比较容易理解的。

2.2 余项

通过上面那个视频我们可以知道，只有在$x_i$处，才有$L_n(x_i)$=$f(x_i)$=$y$，其他位置，$L_n(x_i)$都只能看作我们的估计值，$L_n(x_i)$≠$f(x_i)$。

所以，插值余项$R_n(x)$=$f(x)$-$L_n(x)$表示在点x处产生的误差。

记住这个定理，其中拉格朗日和牛顿插值的余项$R_n(x)$都是这个：

3. 牛顿插值法

3.1 差商

记一下差商的计算方法：

一阶差商：

二阶：

通用：

这样，就可以求出来任意的差商了，差商计算路线如下：

但其实我们最终只用到斜线部分，其他只是用来辅助计算而已。零阶差商就是x对应的函数值。

3.2 牛顿插值

直接看最通用公式：

其中，$N_0^{}(x)$=$f(x_0)$

直接看一道例题，拉格朗日+牛顿全解决：
拉格朗日&牛顿

3.3 余项

同刚才

4.三次埃尔米特插值

这里需要会两种情况的分别两个解法，考试会对解法有要求。

首先说明，$H_3(x)$就代表三次埃尔米特插值。

4.1 齐次埃尔米特插值

齐次是什么意思呢？每一个x对应一个y，并且还一定对应一个y${}^{\prime }$(这里将这个值设为字母m)。

在三次、齐次埃尔米特插值时，只有两个x值。

构造三次埃尔米特插值$H_3(x)$，使$H(x_k)$=$y_k$,$H^{\prime }(x_k)$=$m_k$（k=0,1）

4.1.1 解法一、结合拉格朗日插值

我把这里的讲解分为三部分：

第一部分：如何构建

基于插值基函数（本章2.1），$H_3(x)$=${\alpha }_0(x)$$y_0$+${\alpha }_1(x)$$y_1$+${\beta }_0(x)$$m_0$+${\beta }_1(x)$$m_1$

还记得拉格朗日插值的那个视频吗，把插值基函数称作开关，我们现在就要用开关这个思想，${\alpha }_0(x)$、${\alpha }_1(x)$、${\beta }_0(x)$、${\beta }_1(x)$就是这个公式的四个开关，我们看公式：

可以求得，这样设计之后，$H_3(x_0)$=$y_0$，$H_3^{\prime }(x_0)$=$m_0$，$H_3(x_1)$=$y_1$，$H_3^{\prime }(x_0)$=$m_1$
结果皆大欢喜，但这是如何设计来的呢？

首先，在不求导时，$H_3(x)$=${\alpha }_0(x)$$y_0$+${\alpha }_1(x)$$y_1$+${\beta }_0(x)$$m_0$+${\beta }_1(x)$$m_1$。这里恒有β=0，那么$m_0$、$m_1$的开关就会关掉，那就只有${\alpha }_0(x)$$y_0$+${\alpha }_1(x)$$y_1$这部分，我们看到i=j时才有对应的α=1，那么就会将另一半的开关关掉，用$x_0$举例，即出现$H_3(x_0)$=${\alpha }_0(x_0)$$y_0$+${\alpha }_1(x_0)$$y_1$=1*$y_0$+0*$y_1$=$y_0$的结果。

同理，求导时，公式变为$H_3^{\prime }(x)$=${\alpha }_0^{\prime }(x)$$y_0$+${\alpha }_1^{\prime }(x)$$y_1$+${\beta }_0^{\prime }(x)$$m_0$+${\beta }_1^{\prime }(x)$$m_1$。这里同样有${\alpha }^{\prime }$恒等于0，所以只剩${\beta }_0^{\prime }(x)$$m_0$+${\beta }_1^{\prime }(x)$$m_1$这部分，还有${\beta }^{\prime }$在i=j时才=1的开关，即可得出最终结果。

第二部分：如何求解

这里也分成三部分：

（一）、二重零点

接下来有个重点，书上写的很不明确，为什么根据（5.4.1），${\alpha }_0(x_0)$必包含因子(x-x${}_1$)${}^2$，为什么说${\alpha }_0(x)$中x${}_1$时二重零点？

是这样，你看${\alpha }_0(x_1)$和${\alpha }_0^{\prime }(x_1)$是不是都=0，那一定是因为，${\alpha }_0$含有($x$-$x_1$)${}^2$这一项。因为这样，不仅在原函数$x$=$x_1$时为0，而且导数才一定会有($x$-$x_1$)这一项并且$x$=$x_1$时导数也为0。（再解释一下，($x$-$x_1$)${}^2$$f(x)$的导数为($x$-$x_1$)${}^2$$f^{\prime }(x)$+2($x$-$x_1$)*$f(x)$，能提出($x$-$x_1$)这一项）

（二）、构造式子

那么接下来就要理解这几个剩下的构造部分，先看定义：

平方那部分之前已经讲解完了，为什么会有剩下的构造，首先看${\alpha }_0$，我们看上一张图片，${\alpha }_0$需要满足四个条件：${\alpha }_0(x_1)$=0，${\alpha }_0(x_0)$=1，${\alpha }_0^{\prime }(x_1)$=0，${\alpha }_0^{\prime }(x_0)$=0

目前我们可以满足，${\alpha }_0(x_1)$=0和${\alpha }_0^{\prime }(x_1)$=0，但是如果没有后半部分，一定满足不了剩下两个条件（为什么满足可以看后面的求导，现在不用知道）。

同理，β需要有${\beta }_i(x_i)$=0，所以${\beta }_0$中要有($x$-$x_0$)这一项。

简单记忆一下，就是每个式子都要是三次项。

（三）、求解

看这个表吧，现在每个里面条件都用了三次了，还剩一个条件没用的(=1)，代入到式子中，就可以求出未知系数，最终结果是这样：

第三部分：插值余项

已经求完多项式了，但是还要算一下插值余项。

看一下得了。

4.2.2 解法二、结合牛顿插值

这个差商表和之前的很像，注意一下这一点就可：$z_1$相当于$x+▲x$，利用导数定义，得到：

$z_3$同理。

然后套这个公式就可以了（这个公式还挺好记忆的）：

插值余项
$R_3(x)$=$f[x,z_0,z_1,z_2,z_3]$$(x-x_0{)}^2$$(x-x_1{)}^2$

4.2非齐次埃尔米特插值

能截图就不打字好吧，三个x，三个y，只有一个m。

重大发现：ppt上没讲非齐次的解法一，那我必然是不写的，理解上我已经在齐次的解法一上讲的差不多了，想看可以看。

4.2.1解法二、结合牛顿插值

新的差商表（看一下哪和之前不一样了）

新的方程

插值余项（和之前的对比一下更好记哦）：
$R_3(x)$=$f[x,z_0,z_1,z_2,z_3]$$(x-x_0)$$(x-x_1{)}^2$$(x-x_2)$