Hermite二次型

第0章 复习与引申
第1章 线性空间与线性变换
第2章 内积空间和等距变换
第3章 矩阵的相似标准形
第4章 Hermite二次型
第5章 范数和矩阵函数
第6章 广义逆矩阵

第4章 Hermite二次型

1 H阵和正规阵

设$A\in C^{n\times n}$，定义一个复变量、复值函数：$f(X)=X^{H}AX={\sum }_{i,j=1}^n{a}_{ij}{\overline{x}}_i{x}_j$，式中$X=(x_1,\cdots ,x_n{)}^T$。可以证明$f(X)\in R⟺A^H=A$。

Hermite二次型的定义：若$A^H=A,A\in C^{n\times n}$，则$A$是Hermite矩阵，简称为$H$阵，这时的$f(x)$称为是Hermite二次型。

实对称矩阵的性质：

1. 实对称阵的特征值都为实数；
2. 实对称阵的属于不同特征值的特征向量相互正交。
3. 设$A$是实对称阵，则存在正交阵$Q$，使得$Q^{T}AQ$是对角阵。

H阵的性质：

1. H阵的特征值均是实数；
2. H阵的属于不同特征值的特征向量相互正交；
3. 若A是H阵，则存在酉矩阵U，使得$U^{H}AU$是对角阵。

正规阵的定义：设$A\in C^{n\times n}$，若$A^{H}A=A{A}^H$，则称A是正规阵。

定理：$A\in C^{n\times n}$是正规阵$⟺$A酉相似于对角阵。（正规阵一定可对角化），且A有n个两两正交的单位向量

幂零阵：设$A\in C^{n\times n}$，存在$k$，使得$A^k=O$。(特征值全为0)

2 标准形

共轭合同关系

若$A,B$都是$H$阵，且对$\forall X\in C^n,X^{H}AX=X^{H}BX$，则$A=B$。（Hermite二次型由矩阵唯一确定）

设$f(X)=X^{H}AX,g(Y)=Y^{H}BY,C$是可逆阵，若在$X=CY$下，$f(X)=g(Y)$，则$B=C^{H}AC$。

共轭合同的定义：设$A,B$是$H$阵，若有可逆阵$C$，使得$B=C^{H}AC$，则称$A$与$B$是共轭合同的。

共轭合同的性质：

1. 反身性，$A$与$A$共轭合同
2. 对称性，若$A$与$B$共轭合同，则$B$与$A$共轭合同
3. 传递性：若$A$与$B$、$B$与$C$共轭合同，则$A$与$C$共轭合同。

Hermite二次型的标准形

标准形的定义：设Hermite二次型$f(X)$在可逆线性变换下$X=CY$变成只含有平方项的形式：
$$\begin{gathered} g(Y)=d_1{y}_1\overline{y_1}+d_2{y}_2\overline{y_2}+\cdots +d_n{y}_n\overline{y_n} \\ =d_1|y_1{|}^2+d_2|y_2{|}^2+\cdots +d_n|y_n{|}^2 \end{gathered}$$
​ 则称$g(Y)$是$f(X)$的标准形。（一定存在，因此H阵一定酉相似于对角阵，所以可以令X=UY）

标准型的计算：配方法（初等变换法）；酉变换法

3 惯性定理

若$f(X)$在可逆线性变换$X=CY$下变成标准形：$g(Y)=d_1|y_1{|}^2+\cdots +d_p|y_p{|}^2-d_{p+1}|y_{p+1}{|}^2-\cdots -d_r|y_r{|}^2$。在可逆线性变换$X=DZ$下变成标准形：$h(Z)=k_1|z_1{|}^2+\cdots +k_q|z_q{|}^2-k_{q+1}|z_{q+1}{|}^2-\cdots -k_r|z_r{|}^2$，其中$d_i,k_i$均大于0，则$p=q$。

定义：Hermite二次型的标准形中的正项个数称为其正惯性指数，负项个数称为其负惯性指数。

H阵的惯性定理：对于与H阵A共轭合同的两个对角阵，其正项、负项个数相同。（正惯性指数与负惯性指数相加为矩阵A的秩）

规范形：如果$n\times n$Hermite矩阵A的正、负惯性指数分别是$p,q$，则A必定与矩阵$\left(\begin{array}{ccc}{I}_p& O& O\\ O& -I_q& O\\ O& O& O\end{array}\right)$共轭合同，称次矩阵为A的规范形。

定理：若$H$阵A，B共轭合同$⟺$A，B有相同的正、负惯性指数。

4 有定性

**正定的定义：**设$A$是$H$阵，$f(X)=X^{H}AX$，若对$\forall X_0\ne \theta ,f(X_0)>0$，则称$f$是正定的，$A$是正定的$H$阵。

判别方法：

1. 矩阵$D=diag(d_1,d_2,\dots ,d_n)$，则$D$是正定的$⟺$$\forall d_i>0$;
2. 若H阵A、B共轭合同，则$A$正定$⟺$$B$正定。
3. 若$H$阵A与$D=diag(d_1,d_2,\dots ,d_n)$共轭合同，则$A$正定$⟺$$\forall d_i>0$。

正定的充要条件：

1. A是正定的；
2. A的特征值均大于0；
3. A与$I$共轭合同；
4. 存在可逆阵P使得$A=P^{H}P$；
5. A的各顺序主子式均大于0。

其它有定性：

1. 若对$\forall X_0\ne \theta ,f(X_0)<0$，则称$f$是负定的，$A$是负定的$H$阵。
2. 若对$\forall X_0\ne \theta ,f(X_0)\ge 0$，则称$f$是半正定的，$A$是半正定的$H$阵。
3. 若对$\forall X_0\ne \theta ,f(X_0)\le 0$，则称$f$是半负定的，$A$是半负定的$H$阵。

半正定的判别方法：

1. 矩阵$D=diag(d_1,d_2,\dots ,d_n)$，则$D$是半正定的$⟺$$\forall d_i\ge 0$;
2. 若H阵A、B共轭合同，则$A$半正定$⟺$$B$半正定。
3. 若$H$阵A与$D=diag(d_1,d_2,\dots ,d_n)$共轭合同， 则$A$半正定$⟺$$\forall d_i\ge 0$。

半正定的充要条件：

1. A是半正定的；
2. A的特征值均大于等于0；
3. A与$\left(\begin{array}{cc}{I}_r& \\ & O\end{array}\right)$共轭合同；
4. 存在矩阵阵P使得$A=P^{H}P$；
5. A的各主子式均大于0或等于0。

奇值分解定理：设$A$是秩为$r$的$s\times n$矩阵，则$A^{H}A$是秩为$r$的半正定矩阵，设其非零特征值为${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r$，令$d_i=\sqrt{{\lambda }_i}$，$D=diag\{d_1.d_2,\cdots ,d_r\}$，则一定存在$s$阶酉矩阵$U$和$n$阶酉矩阵$V$，使得：
$$A=U\left(\begin{array}{cc}D& O\\ O& O\end{array}\right)V$$
Rayleigh商：设$A$是$H$阵，$\forall x\in C^n,X^{H}AX\in R$,$\forall X\ne \theta$，定义复变量实值函数：
$$R(X)=\frac{X^{H}AX}{X^{H}X}=\frac{⟨AX,X⟩}{⟨X,X⟩}$$
​ 称$R$是A的Rayleigh商。

设$A\in C^{n\times n}$是H阵，${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \dots ,{\lambda }_n$是A的所有特征值，其中${\lambda }_1={\min }_{X\ne \theta }R(x)$，${\lambda }_n={\max }_{X\ne \theta }R(x)$。

证：因为A是H阵，所有A有n个两两正交的单位特征向量

​ 设${\eta }_1,\cdots ,{\eta }_n$是A相应于特征值的标准正交特征向量

​ 于是 ${\eta }_1,\cdots ,{\eta }_n$是标准正交基

只证：${\lambda }_1={\min }_{X\ne \theta }R(x)$

​ $\forall X\in C^n,\exists k_1,\cdots ,k_n\in C,s.t.X=k_1{\eta }_1+\cdots +k_n{\eta }_n$

​ $AX=k_{1}A{\eta }_1+\cdots +k_{n}A{\eta }_n==k_1{\lambda }_1{\eta }_1+\cdots +k_n{\lambda }_n{\eta }_n$
$$\begin{array}{rl}AX,X⟩& =k_1{\lambda }_1{\overline{k}}_1+k_2{\lambda }_2{\overline{k}}_2+\cdots +k_n{\lambda }_n{\overline{k}}_n\\ & ={\lambda }_1|k_1{|}^2+\cdots +{\lambda }_n|k_n{|}^2\\ & \ge {\lambda }_1(|k_1{|}^2+\cdots +|k_n{|}^2)\\ & ={\lambda }_1<X,X>\end{array}$$ ​所以${\lambda }_1\le \frac{⟨AX,X⟩}{⟨X,X⟩}=R(x)$

参考文献：工程矩阵理论，张明淳著