代码随想录算法训练营第24天|77. 组合

回溯算法理论基础

什么是回溯算法

它是一种搜索方式，回溯是递归的副产品，只要有递归就会有回溯。

回溯法的效率

就是暴力搜索，效率并不高。因为回溯的本质是穷举，穷举所有可能，然后选出我们想要的答案，如果想让回溯法高效一些，可以加一些剪枝的操作，但也改不了回溯法就是穷举的本质。

回溯法解决的问题

• 组合问题：N个数里面按一定规则找出k个数的集合
• 切割问题：一个字符串按一定规则有几种切割方式
• 子集问题：一个N个数的集合里有多少符合条件的子集
• 排列问题：N个数按一定规则全排列，有几种排列方式
• 棋盘问题：N皇后，解数独等等

如何理解回溯法

回溯法解决的问题都可以抽象为树形结构。因为回溯法解决的都是在集合中递归查找子集，集合的大小就构成了树的宽度，递归的深度，都构成的树的深度。递归就要有终止条件，所以必然是一棵高度有限的树（N叉树）。

回溯法模板

void backtracking(参数) {
    if (终止条件) {
        存放结果;
        return;
    }

    for (选择：本层集合中元素（树中节点孩子的数量就是集合的大小）) {
        处理节点;
        backtracking(路径，选择列表); // 递归
        回溯，撤销处理结果
    }
}

77. 组合

递归来做层叠嵌套（可以理解是开k层for循环），每一次的递归中嵌套一个for循环，那么递归就可以用于解决多层嵌套循环的问题了。

n相当于树的宽度，k相当于树的深度。每次搜索到了叶子节点，我们就找到了一个结果。int型变量startIndex，这个参数用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历。每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex。

backtracking（递归函数）通过不断调用自己一直往深处遍历，总会遇到叶子节点，遇到了叶子节点就要返回。找到叶节点后就要进行回溯，撤销本次处理的结果。

class Solution {
    private List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    private LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        backtracking(n, k, 1);
        return result;
    }
    private void backtracking(int n, int k, int startIndex){
        if(path.size() == k){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for(int i = startIndex; i <= n; i++){
            path.add(i);
            backtracking(n, k, i + 1);
            path.removeLast();
        }
    }
}

剪枝优化

可以剪枝的地方就在递归中每一层的for循环所选择的起始位置。如果for循环选择的起始位置之后的元素个数 已经不足 我们需要的元素个数了，那么就没有必要搜索了。

优化过程如下：

1. 已经选择的元素个数：path.size();
2. 还需要的元素个数为: k - path.size();
3. 在集合n中至多要从该起始位置 : n - (k - path.size()) + 1，开始遍历

class Solution {
    List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
    LinkedList<Integer> path = new LinkedList<>();
    public List<List<Integer>> combine(int n, int k) {
        combineHelper(n, k, 1);
        return result;
    }

    /**
     * 每次从集合中选取元素，可选择的范围随着选择的进行而收缩，调整可选择的范围，就是要靠startIndex
     * @param startIndex 用来记录本层递归的中，集合从哪里开始遍历（集合就是[1,...,n] ）。
     */
    private void combineHelper(int n, int k, int startIndex){
        //终止条件
        if (path.size() == k){
            result.add(new ArrayList<>(path));
            return;
        }
        for (int i = startIndex; i <= n - (k - path.size()) + 1; i++){
            path.add(i);
            combineHelper(n, k, i + 1);
            path.removeLast();
        }
    }
}

今日总结

今天的学习了回溯法的理论基础，基本上就是在递归后加上一句回溯的操作，撤销当前的操作，比如在组合问题里回溯就是把当前处理完的节点退回，再把下一个节点添加到path中。处理多层嵌套for循环的方法就是在递归里嵌套一次for循环。之后更多需要关注的还是剪枝优化问题，该如何独立想到剪枝的写法，也就是规定for循环的范围。继续加油！