原码、反码和补码

机器数和真值

机器数

  一个数在计算机中的二进制表示形式叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，计算机用一个数的最高位来存放符号，正数为0，负数为1。
  例如十进制数+3，假设计算机的字长为8位，转换成二进制就是0000_0011；如果是-3，就是1000_0011。那么，这里的0000_0011和1000_0011就是机器数。

真值

  因为第一位是符号位，所以机器数的形式值不一定等于真正的数值。例如有符号数1000_0011，最高位1代表负，其真正的数值是-3，而不是形式值131。为了进行区别，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。
  例如，0000_0001的真值为+000_0001 = +1，1000_0001的真值为-000_0001 = -1。

原码、反码和补码

原码

  原码就是符号位加上真值的绝对值，即用第一位表示符号，其余位表示值：

[+1]原 = 0000_0001
[-1]原 = 1000_0001

因为第一位是符号位，所以8位二进制数的取值范围是[1111_1111, 0111_1111]，即[-127, 127]。

反码

  反码的表示方法如下：

• 正数的反码是其本身。
• 负数的反码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各个位取反。

[+1] = [0000_0001]原 = [0000_0001]反
[-1] = [1000_0001]原 = [1111_1110]反

补码

  补码的表示方法如下：

1. 正数的补码就是其本身。
2. 负数的补码是在其原码的基础上，符号位不变，其余各位取反，最后+1。

[+1] = [0000_0001]原 = [0000_0001]反 = [0000_0001]补
[-1] = [1000_0001]原 = [1111_1110]反 = [1111_1111]补

编码原因

  对于正数，这三种编码方式的结果都相同：

[+1] = [0000_0001]原 = [0000_0001]反 = [0000_0001]补

  对于负数，可见原码、反码和补码是完全不同的：

[-1] = [1000_0001]原 = [1111_1110]反 = [1111_1111]补

  首先来看原码，计算十进制的表达式1 - 1 = 0：

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000_0001]原 + [1000_0001]原 = [1000_0010]原 = -2

如果用原码表示，让符号位也参与计算，显然对于减法来说，结果是不正确的。这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数。
  为了解决计算机做减法的问题，出现了反码：

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000_0001]原 + [1000_0001]原 = [0000_0001]反 + [1111_1110]反 = [1111_1111]反 = [1000_0000]原 = -0

结果发现的真值部分是正确的，而唯一的问题其实就出现在0上，会有[0000_0000]原和[1000_0000]原两个编码表示0。
  补码的出现解决了这个问题：

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000_0001]原 + [1000_0001]原 = [0000_0001]补 + [1111_1111]补 = [0000_0000]补 = [0000_0000]原

这样可以用[0000_0000]来表示0。
  补码可以用[1000_0000]来表示-128：

(-1) + (-127) = [1000_0001]原 + [1111_1111]原 = [1111_1111]补 + [1000_0001]补 = [1000_0000]补

-1 - 127的结果应该是-128，所以在用补码运算的结果中，[1000_0000]补就是-128。