matlab 二维离散傅立叶变换,二维离散傅里叶变换.PPT

二维离散傅里叶变换

3.1 二维离散傅里叶变换(DFT) 3.1.1 二维连续傅里叶变换 二维连续函数 f (x, y)的傅里叶变换定义如下: 设 是独立变量 的函数,且在 上绝对可积,则定义积分 为二维连续函数 的付里叶变换,并定义 为 的反变换。 和 为傅里叶变换对。 3.1.2 二维离散傅里叶变换 尺寸为M×N的离散图像函数的DFT 反变换可以通过对F(u,v) 求IDFT获得 DFT变换进行图像处理时有如下特点: (1)直流成分为F(0,0)。 (2)幅度谱|F(u,v)|对称于原点。 (3)图像f (x, y)平移后,幅度谱不发生变化,仅有相位发生了变化。 3.1.3 二维离散傅里叶变换的性质 1.周期性和共轭对称性 周期性和共轭对称性来了许多方便。 我们首先来看一维的情况。 设有一矩形函数为,求出它的傅里叶变换: 幅度谱: DFT取的区间是[0,N-1],在这个区间内频谱是由两个背靠背的半周期组成的 ,要显示一个完整的周期,必须将变换的原点移至u=N/2点。 根据定义,有 在进行DFT之前用(-1)x 乘以输入的信号 f (x) ,可以在一个周期的变换中(u=0,1,2,…,N-1),求得一个完整的频谱。 推广到二维情况。在进行傅里叶变换之前用(-1)x+y 乘以输入的图像函数,则有: DFT的原点,即F(0,0)被设置在u=M/2和v=N/2上。 (0,0)点的变换值为: 即 f (x,y) 的平均值。 如果是一幅图像,在原点的傅里叶变换F(0,0)等于图像的平均灰度级,也称作频率谱的直流成分。 2.可分性 离散傅里叶变换可以用可分离的形式表示 这里 对于每个x值,当v=0,1,2,…,N-1时,该等式是完整的一维傅里叶变换。 3.离散卷积定理 设f(x,y)和g(x,y) 是大小分别为A×B和C×D的两个数组,则它们的离散卷积定义为 卷积定理 【例3.2】用MATLAB实现图像的傅里叶变换。 解:MATLAB程序如下: A=imread('pout.tif'); %读入图像 imshow(A); %显示图像 A2=fft2(A); %计算二维傅里叶变换 A2=fftshift(A2); %将直流分量移到频谱图的中心 figure, imshow(log(abs(A2)+1),[0 10]); %显示变换后的频谱图 3.2 二维离散余弦变换(DCT) 任何实对称函数的傅里叶变换中只含余弦项,余弦变换是傅里叶变换的特例,余弦变换是简化DFT的重要方法。 3.2.1 一维离散余弦变换 将一个信号通过对折延拓成实偶函数,然后进行傅里叶变换,我们就可用2N点的DFT来产生N点的DCT。 1.以x=-1/2为对称轴折叠原来的实序列f(n) 得: 3.对0到2N-1的2N个点的离散周期序列 作DFT,得 令i=2N-m-1,则上式为 为了保证变换基的规范正交性,引入常量,定义: DCT逆变换为 【例3.3】应用MATLAB实现图像的DCT变换。 解:MATLAB程序如下: A=imread('pout.tif'); %读入图像 I=dct2(A); %对图像作DCT变换 subplot(1,2,1),imshow(A); %显示原图像 subplot(1,2,2),imshow(log(abs(I)),[0 5]); 3.3 二维离散沃尔什-哈达玛变换(DHT) 前面的变换都是余弦型变换,基底函数选用的都是余弦型。 图像处理中还有许多变换常常选用方波信号或者它的变形。 沃尔什(Walsh)变换。 沃尔什函数是一组矩形波,其取值为1和-1,非常便于计算机运算。 沃尔什函数有三种排列或编号方式,以哈达玛排列最便于快速计算。 采用哈达玛排列的沃尔什函数进行的变换称为沃尔什-哈达玛变换,简称WHT或直称哈达玛变换。 3.3.1 哈达玛变换 哈达玛矩阵:元素仅由+1和-1组成的正交方阵。 正交方阵:指它的任意两行(或两列)都彼此正交,或者说它们对应元素之和为零。 哈达玛变换要求图像的大小为N=2n 。 一维哈达玛变换

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