B样条曲线

学习B样条曲线需要先学习贝塞尔曲线,若未了解,看我一篇上博客https://blog.csdn.net/weixin_42513339/article/details/83019610

贝塞尔函数不足

由于贝塞尔曲线存在以下不足:

        1 )缺乏局部修改性即改变某一控制点对整个曲线都有影响。

        2 n 较大时,特征多边形的边数较多对曲线的控制减弱。

        3 )幂次过高难于修改。(而在外形设计中,局部修改是随时要进行的

所以提出了B样条曲线,B样条曲线有以下优点:

  1 )逼近特征多边形的精度更高。

  2 )多边形的边数与基函数的次数无关。

  3 )具有局部修改性。

首先,贝塞尔公式为:

其中,  为伯恩斯坦基函数(BEZ)

 

所以公式可以写成

 

B样条曲线

B样条曲线,用B样条基函数代替伯恩斯坦基函数如下所示:

这里的你只是一个比例系数,但是这里把你从0到1分成很多段。如果节点等间距(即  ui +1 -  ui  是一个常数,对0 <=  i  <=  m  - 1),节点向量或节点序列称为均匀的;否则它是非均匀的。

节点可认为是分隔点,将区间[ u0,um]细分为节点区间。所有B样条基函数被假设定义域在[ u0um ]上。uo  = 0和um  = 1,所以定义域是闭区间[0,1]。

相关定义

在图形学书里,也写明了若此时线段的顶点个数为m + n + 1(m为最大段号,n为阶次)

B样条曲线主要也是为了平滑曲线,而且这里的阶次,换个说法就是目前这个点能够影响它附近多少个点

 

多重节点与简单节点

如果一个节点ui出现k次(即,ui = ui + 1 = ... = ui + k-1),其中k> 1,ui是一个重复度(multiplicity)为的多重节点写ui(k否则),如果用户界面只出现一次,它是一个简单节点。

 

B样条基函数

区间我的ķ次B样条基函数,写为镍,K(U),递归定义如下:

B样条曲线_第1张图片

K = 0时的Ni,k(u)
    如果次数为零(即k = 0),这时基函数都是阶梯函数,如果你是在第i个节点区间[ui,ui + 1)上,那么基函数的Ni,0(U)= 1。
 

例:
    有四个节点U = {0,1,2,3},节点区间0,1,2分别对应[0,1),[1,2),[2,3]。(这里你的范围也只是一个比例关系)

  

画出图如下所示:

B样条曲线_第2张图片

 

若K = 1时的的Ni,K(U)

B样条曲线_第3张图片

B样条曲线_第4张图片

下图中,黑色和红色线分别是N0,1(u)和N1,1(u)。


B样条曲线_第5张图片

 

PS:

 为了理解 阶数k 大于0时,计算Ni,ku)的方法,我们使用三角计算格式。所有节点区间列在左边(第一)列,所有零次基函数在第二列。见下图。

B样条曲线_第6张图片

从这一张图里,我们可以很清楚的看到,如果想计算某个基函数,那么就必须要知道哪些零次基函数,然后需要哪两个计算,都可以从图里看出来。

比如:

我们继续计算K = 2时的镍,K(U),如下:

其中,当你在[0,1)上时,这种情况,只有N0,1(u)对N0,2(u)的值有贡献。因此,N0,1(u)是你,得到

你在[1,2]上: 

这种情况,N0,1(u)和N1,1(u)都对N0,2(u)有贡献。在[1,2]上N0,1(u)= 2 - u和N1,1( u)= u - 1,得到: 


你在[2,3]上: 

这种情况,只有N1,1(u)对N0,2(u)有贡献。在[2,3]上N1,1(u)= 3 - u,得到:

可以最后得到N0,2(u)函数图形 

B样条曲线_第7张图片

 

基函数的非零定义域的确定

实际上也是主要通过图来看如下图,我们可以得知:如果我们要计算N1,3(U),那么它的有效定义域是u1到u5通过下图可以直接看出。

B样条曲线_第8张图片

说的更加理论一点就是:

基函数Ni,p(u)在[ui,ui + k + 1)上非零。或,相等地,Ni,k(u)在k + 1个节点区间[ui,ui + 1],[ui + 1,ui + 2),...,[ui + k,ui + k + 1)上非零。

在这里,我们可以观察出重要的一点,为什么B样条曲线的顶点数是m + n + 1,因为跟它的定义域是有关的。

 

非零定义域对应的基函数

与上面正好相反,我们可以通过基函数的阶数,来确定他的定义域。

同样,一个定义域,我们也可以看出(如下图):

任何一个节点区间[ui,ui + 1],最多有k + 1个k次基函数非零,即:Ni-k,k(u),Ni-k + 1,k(u),Ni-k + 2,k(u),...,Ni-1,k(u)和Ni,k(u)。

B样条曲线_第9张图片

 

系数的意义

第一项,Ni,k-1(u),在[ui,ui + k)上非零。如果u是在该区间,那么你 - ui是u到该区间左端的距离,区间长度为ui + k - ui,(u - ui)/(ui + k - ui)是你在上述区间的归一化位置。

第二项,Ni + 1,k-1(u),在[ui + 1,ui + k + 1)上非零。如果u在该区间,那么ui + k + 1 - u是u到该区间右端的距离,ui + k + 1 - ui + 1是区间长度,(ui + k + 1 - u)/(ui + k + 1 - ui + 1)是u在上述区间的归一化位置。

    B样条曲线_第10张图片

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