金融时间序列描述性统计分析【python复现】

金融时间序列描述性统计分析

前言

金融时间序列是金融市场的一个重要组成部分。在研究金融市场的各种现象以及对进行建模时，金融时间序列的描述性统计分析都是一项基础的且必不可少的工作。

本章主要介绍描述性统计分析的相关知识，并且利用python进行量化。

对于金融时间序列，本章主要通过几何布朗运动模拟的时间序列以及沪深300指数的时间序列进行分析。

一、描述性统计分析

波动率是分析期权和衍生品的重要概念。这里介绍一下几个波动率的概念。

历史波动率：
指的是一个金融时间序列对数收益率的标准差。

计算历史收益率时，首先计算序列的对数收益率：


针对资产的对数收益率求平均数：

然后对历史波动率进行求解：

瞬时波动率：

瞬时波动率是指一个扩散过程的波动率因子。在BS模型中，瞬时波动率σ可以在随机微分方程中得到：

BSM的随机微分方程：dSt=rStdt+σStdZt

偏度：

用于测度样本对于其均值的位置。

对于n个样本值的偏度，计算方法如下：

这里 xi 是第i个样本，, sd是样本标准差. g1 是总体偏度的有偏估计。

峰度：

峰度用于测度分布的峰度以及分为的尾部大小。

二、描述性统计分析的python计算

1.几何布朗运动模拟下的时间序列数据

import math
import numpy as np
import pandas as pd
import scipy.stats as scs
import statsmodels.api as sm
import matplotlib as mpl
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif']=['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False

# 标准正态分布的概率密度函数
# 假设x服从正态分布，即x~N(mu，sigma**2)
# z=（x-mu）/sigma则服从标准正态分布，即z~N(0,1)
def dN(x,mu,sigma):
    "'    mu:期望值，sigma：标准差，pdf：概率密度函数'"
    z=(x-mu)/sigma
    pdf=np.exp(-0.5*z**2)/math.sqrt(2*math.pi*sigma**2)
    return pdf

#几何布朗运动模型 
# BSM的随机微分方程：dSt=r*St*dt+σ*St*dZt
def simulate_gbm():
    # model parameters
    S0 = 2.7 #标的资产价格
    T = 1 # 到期期限
    r = 0.05  # 无风险利率
    vol = 0.2  # 瞬时波动率

    # 参数模拟
    np.random.seed(250000)
    rng = pd.date_range('2016-09-07','2020-06-30', freq='B') #生成起始时间和终止时间的若干个交易日
    gbm_dates = rng
    M = len(gbm_dates)  # 时间步长
    I = 1  # 
    dt = 1 / 252.  # 
    df = math.exp(-r * dt)  # 

    # 股票价格路径生成
    rand = np.random.standard_normal((M, I))  # random numbers
    S = np.zeros_like(rand)  # stock matrix
    S[0] = S0  # initial values
    for t in range(1, M):  # stock price paths
        S[t] = S[t - 1] * np.exp((r - vol ** 2 / 2) * dt +
                                 vol * rand[t] * math.sqrt(dt))

    gbm = pd.DataFrame(S[:, 0], index=gbm_dates, columns=['index'])
    gbm['returns'] = np.log(gbm['index'] / gbm['index'].shift(1))

    # Realized Volatility (eg. as defined for variance swaps)
    gbm['rea_var'] = 252 * np.cumsum(gbm['returns'] ** 2) / np.arange(len(gbm))
    gbm['rea_vol'] = np.sqrt(gbm['rea_var'])
    gbm = gbm.dropna()
    return gbm

# 收益率统计分析及正态分布检验
def print_statistics(data):
    print("样本收益率统计值")
    print("---------------------------------------------")
    print("日对数收益率均值 %9.6f" % np.mean(data['returns']))
    print("年对数收益率均值 %9.6f" %
          (np.mean(data['returns']) * 252))
    print("年对数收益率的标准差 %9.6f" %
          (np.std(data['returns']) * math.sqrt(252)))
    print("---------------------------------------------")
    print("样本对数收益率的偏度 %9.6f" % scs.skew(data['returns']))
    print("偏度的正态分布检验p值   %9.6f" %
          scs.skewtest(data['returns'])[1])
    print("---------------------------------------------")
    print("样本对数收益率的峰度 %9.6f" % scs.kurtosis(data['returns']))
    print("峰度的正态分布检验p值   %9.6f" %
          scs.kurtosistest(data['returns'])[1])
    print("---------------------------------------------")
    print("正态分布检验p值        %9.6f" %
          scs.normaltest(data['returns'])[1])
    print("---------------------------------------------")
    print("已实现波动率        %9.6f" % data['rea_vol'].iloc[-1])
    print("已实现方差         %9.6f" % data['rea_var'].iloc[-1])

# 日报价和日对数收益率

def quotes_returns(data):
    ''' Plots quotes and returns. '''
    plt.figure(figsize=(9, 6))
    plt.subplot(211)
    data['index'].plot()
    plt.ylabel('日报价')
    plt.grid(True)
    plt.axis('tight')

    plt.subplot(212)
    data['returns'].plot()
    plt.ylabel('日对数收益率')
    plt.grid(True)
    plt.axis('tight')

# histogram of annualized daily log returns


def return_histogram(data):
    ''' Plots a histogram of the returns. '''
    plt.figure(figsize=(9, 5))
    x = np.linspace(min(data['returns']), max(data['returns']), 100)
    plt.hist(np.array(data['returns']), bins=50, density=True) #normed改成density
    y = dN(x, np.mean(data['returns']), np.std(data['returns'])) #求收益率的均值和方差
    plt.plot(x, y, linewidth=2)
    plt.xlabel('对数收益率')
    plt.ylabel('频率/概率')
    plt.grid(True)

# Q-Q plot of annualized daily log returns


def return_qqplot(data):
    ''' Generates a Q-Q plot of the returns.'''
    plt.figure(figsize=(9, 5))
    sm.qqplot(data['returns'], line='s')
    plt.grid(True)
    plt.xlabel('理论分位数')
    plt.ylabel('样本分位数')


# realized volatility
def realized_volatility(data):
    ''' Plots the realized volatility. '''
    plt.figure(figsize=(9, 5))
    data['rea_vol'].plot()
    plt.ylabel('已实现波动率')
    plt.grid(True)

# mean return, volatility and correlation (252 days moving = 1 year)


def rolling_statistics(data):
    ''' Calculates and plots rolling statistics (mean, std, correlation). '''
    plt.figure(figsize=(11, 8))

    plt.subplot(311)
    mr = data['returns'].rolling(252).mean() * 252
    mr.plot()
    plt.grid(True)
    plt.ylabel('年收益率')
    plt.axhline(mr.mean(), color='r', ls='dashed', lw=1.5)

    plt.subplot(312)
    vo = data['returns'].rolling(252).std() * math.sqrt(252)
    vo.plot()
    plt.grid(True)
    plt.ylabel('年波动率')
    plt.axhline(vo.mean(), color='r', ls='dashed', lw=1.5)
    vx = plt.axis()

    plt.subplot(313)
    co = mr.rolling(252).corr(vo)
    co.plot()
    plt.grid(True)
    plt.ylabel('年相关系数')
    cx = plt.axis()
    plt.axis([vx[0], vx[1], cx[2], cx[3]])
    plt.axhline(co.mean(), color='r', ls='dashed', lw=1.5)

首先通过几何布朗运动来模拟一段时间序列的数据，几何布朗运动的介绍在前文已经给出了，这里不再赘述。

几何布朗运动的序列数据如下所示：

gbm = simulate_gbm()

print_statistics(gbm)

样本收益率统计值
---------------------------------------------
日对数收益率均值 -0.000129
年对数收益率均值 -0.032411
年对数收益率的标准差  0.202453
---------------------------------------------
样本对数收益率的偏度 -0.128567
偏度的正态分布检验p值    0.096832
---------------------------------------------
样本对数收益率的峰度  0.294140
峰度的正态分布检验p值    0.073261
---------------------------------------------
正态分布检验p值         0.050657
---------------------------------------------
已实现波动率         0.202463
已实现方差          0.040991

quotes_returns(gbm) #日报价和日对数收益率

return_histogram(gbm)#日对数收益率直方图和具有相同收益，方差的正态分布的概率密度函数图

return_qqplot(gbm) #几何布朗运动的日对数收益率的QQ图

realized_volatility(gbm)#模拟路径的实际波动率

rolling_statistics(gbm)

通过上述的描述性统计分析数值和分布图、QQ图可知，几何布朗运动模拟下生成的时间序列数据是符合正态分布的。

2.沪深300时间序列数据的描述性统计分析

通过数据库导入沪深300的数据，并且进行处理

df['returns']=np.log(df['close']/df['close'].shift(1))
df['rea_var']=np.cumsum(df['returns']**2)/np.arange(len(df))*252
df['rea_vol']=np.sqrt(df['rea_var'])
df=df.dropna()
df

print_statistics(df)

样本收益率统计值
---------------------------------------------
日对数收益率均值  0.000250
年对数收益率均值  0.063086
年对数收益率的标准差  0.183886
---------------------------------------------
样本对数收益率的偏度 -0.603087
偏度的正态分布检验p值    0.000000
---------------------------------------------
样本对数收益率的峰度  5.390226
峰度的正态分布检验p值    0.000000
---------------------------------------------
正态分布检验p值         0.000000
---------------------------------------------
已实现波动率         0.183929
已实现方差          0.033830

df['index']=df['close']
quotes_returns(df) #日报价和日对数收益率

return_histogram(df)#

return_qqplot(df) #QQ图

realized_volatility(df)#实际波动率

rolling_statistics(df)

通过上述描述性统计分析的数值和图可知，沪深300指数的收益率序列是不服从正态分布的。这也是金融市场的一个普遍现象。

总结

本章对金融时间序列的描述性统计分析进行了介绍，并且基于几何布朗运动模拟下的数据和沪深300指数数据进行了量化分析。