双机流水作业调度问题——Johnson算法

概述

流水作业是并行处理技术领域的一项关键技术，它是以专业化为基础,将不同处理对象的同一施工工序交给专业处理部件执行,各处理部件在统一计划安排下,依次在各个作业面上完成指定的操作。
流水作业调度问题是一个非常重要的问题，其直接关系到计算机处理器的工作效率。然而由于牵扯到数据相关、资源相关、控制相关等许多问题，最优流水作业调度问题处理起来非常复杂。已经证明，当机器数(或称工序数)大于等于3时， 流水作业调度问题是一个NP-hard问题（e.g分布式任务调度）。粗糙地说，即该问题至少在目前基本上没有可能找到多项式时间的算法。只有当机器数为2时，该问题可有多项式时间的算法（机器数为1时该问题是平凡的）。

我们先给出流水作业调度的定义：

设有$n$个作业，每一个作业$i$均被分解为$m$项任务: ${\mathrm{T}}_{\mathrm{i}1},{\mathrm{T}}_{\mathrm{i}2},\dots ,{\mathrm{T}}_{\mathrm{i}\mathrm{m}}$($1\le i\le n$，故共有$m\ast n$个任务)， 要把这些任务安排到m台机器上进行加工。 如果任务的安排满足下列3个条件， 则称该安排为流水作业调度：

1. 每个作业 i 的第 j 项任务Tij $(1⩽\mathrm{i}⩽\mathrm{n},1⩽\mathrm{j}⩽\mathrm{m})$ 只能安排在机器 ${\mathrm{P}}_{\mathrm{j}}$ 上进行加工
2. 作业 i 的第 j 项任务 ${\mathrm{T}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}(1\le \mathrm{i}\le \mathrm{n},2\le \mathrm{j}\le \mathrm{m})$ 的开始加工时间均安排在第 $\mathrm{j}-1$ 项任务${\mathrm{T}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}-1}$ 加工完毕之后，任何一个作业的任务必须依次完成，前一项任务完成之后才能开 始着手下一项任务：
3. 任何一台机器在任何一个时刻最多只能承担一项任务。

最优流水作业调度是指：

设任务${\tau }_{ij}$在机器$P_j$上进行加工需要的时间为$t_{ij}$。 如果所有的${\mathrm{t}}_{\mathrm{i}\mathrm{j}}(1⩽\mathrm{i}⩽\mathrm{n},1⩽\mathrm{j}⩽\mathrm{m})$均已给出， 要找出一种安排任务的方法， 使得完成这 $n$个作业的加工时间为最少。 这个安排称之为最优流水作业调度。

前面已经说过，当$\mathrm{m}\ge 3$时该问题是NP问题，这里我们只给出$m=2$时时间复杂度在多项式以内的Johnson算法。

求解流水作业调度问题的Johnson算法具体描述如下：

1、设 a[i]和 b[i] $(0\le i<n)$分别为作业 i 在两台设备上的处理时间。建立由三元组 (作业
号，处理时间，设备号）组成的三元组表 d。其中，处理时间是指每个作业所包含的两 个任务中时间较少的处理时间。

$\begin{array}{l}\text{ 设 }\mathrm{n}=4,\left({\mathrm{a}}_0,{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,{\mathrm{a}}_3\right)=(3,4,8,10)\text{ 和 }\left({\mathrm{b}}_0,{\mathrm{b}}_1,{\mathrm{b}}_2,{\mathrm{b}}_3\right)=(6,2,9,15)\text{ 的作业 }0\text{ 的三元组为 }\\ (0,3,0),\text{ 作业 }1\text{ 的三元组为 }(1,2,1)\text{ 。 }\text{ 如图 }(\mathrm{a})\text{ 所示。 }\end{array}$

(a)三元组表
$$\begin{array}{ccc}\text{ 作业号 }& \text{ 处理时间 }& \text{ 设备号 }\\ 0& 3& 0\\ 1& 2& 1\\ 2& 8& 0\\ 3& 10& 0\end{array}$$

2、对三元组表按处理时间排序，得到排序后的三元组表 d。如图(b)所示。

(b)按处理时间排序
$$\begin{array}{ccc}\text{ 作业号 }& \text{ 处理时间 }& \text{ 设备号 }\\ 1& 2& 1\\ 0& 3& 0\\ 2& 8& 0\\ 3& 10& 0\end{array}$$

3、对三元组表的每一项 $\mathrm{d}[\mathrm{i}](0\le \mathrm{i}<n),$ 从左右两端生成最优作业排列 $\mathrm{c}[\mathrm{j}](0\le \mathrm{j}<n),\mathrm{c}[\mathrm{j}]$是作业号。如果 d[i]设备号为 1，则将作业 i 置于 c 的左端末尾，否则置于 c 的右端 末尾。如图©所示，由两端向中间存放。

（c）最优作业排列
（0，2，3，1）

（d)最优调度方案

$$\begin{array}{lllll}\mathrm{p}1& 3& 8& 10& 4\\ \mathrm{p}2& 6& 9& 15& 2\end{array}$$

例题：

下面是北大PKU POJ 第2751题Saving Endeavour

有2台机器，n件任务，必须先在S1上做，再在S2上做。任务之间先做后做任意。求最早的完工时间。

双机调度问题Johnson算法简析:
（1)把作业按工序加工时间分成两个子集，第一个集合中在S1上做的时间比在S2上少，其它的作业放到第二个集合。先完成第一个集合里面的作业，再完成第二个集合里的作业。

（2)对于第一个集合，其中的作业顺序是按在S1上的时间的不减排列；对于第二个集合，其中的作业顺序是按在S2上的时间的不增排列。

Johnson算法的时间取决于对作业集合的排序,因此,在最怀情况下算法的时间复杂度为$0(\text{ nlogn })$,所需的空间复杂度为$0(\text{ n })$。

c语言代码如下：

#include 
#include 
#include 
using namespace std;

const int MAXN=10005;

struct TNode
{
	int s1,s2;
}ws[MAXN];

int topf,tops;
int n;

bool operator<(TNode x,TNode y)
{
	if (x.s1<x.s2&&y.s1>=y.s2) return true;
	if (x.s1<x.s2&&y.s1<y.s2) return x.s1<y.s1;
	if (x.s1>=x.s2&&y.s1>=y.s2) return x.s2>y.s2;
	return false;
}

int max(int x,int y)
{
	return x>y?x:y;
}

void Work()
{
	sort(ws,ws+n);
	int i,t1=0,t2=0;
	for (i=0;i<n;i++)
	{
		t1+=ws.s1;
		t2=max(t1,t2)+ws.s2;
	}
	printf("%dn",t2);
}

void Read()
{
	int i;
	while (scanf("%d",&n)&&n)
	{
		for (i=0;i<n;i++)
			scanf("%d%d",&ws.s1,&ws.s2);
		Work();
	}
}

int main()
{
	Read();
	return 1;
}