几何建模相关多目标优化问题研究-摘要

摘要

• 计算机辅助设计的商业软件可以分为两大类：一类是平面设计软件，一类是三维建模软件
• 平面曲线通常使用样条来表示，光顺性和连续度是对曲线质量的常见要求。
• 有理二次贝塞尔曲线是一个常见的样条曲线，然而固定参数后一方面限制了自由度，另一方面不利于寻找提高光顺度的方法
• 在表面张力的作用下生成的曲面具有非常好的光滑性，但是由于绝大多数张力生成曲面的方程都无法写出，因而离散构造成为目前最可行的方法。
• 多边形网格是最常用的曲面的离散的表示方法，每个面与正多边形的接近度成为衡量网格质量的重要标准。
• 在张力生成曲面的构造中，曲面的精度和网格质量是张力生成曲面离散构造的两个重要指标。
• 自支撑曲面可以通过壁面材料沿着切方向的正应力平衡材料的自身重力，从而避免剪应力与弯矩的产生。但是自支撑曲面的平衡方程中有一个难以处理的未知函数，这导致难以找到优化函数。
• 在有限元分析中，结构化四边形网格有着计算速度快，结果精度高的特点。
• 目前基于正交流场的参数化方法是构造四边形网格最有效的方法，但是存在两个问题：一个是如何确定优化奇异点的位置与数量从而发挥它抵消高斯曲率的最大作用；另一方面是如何让参数的梯度尽可能沿着流场的方向，从而使生成的四边形网格的角度畸变尽可能小。
• 创新点：提出了一种使用圆锥曲线的新的插值方法，减少了曲率极值点，从而提高了样条的光顺性。在新方法中，有理二次贝塞尔曲线的权重被转化为一种等价的形式，称为“弦切比”。新方法的主要思想是用切线的辐角和弦切比表示样条端点处的曲率和曲率变化率。把几何构造问题转化为条件极值问题。在求解过程中，对于多个约束函数采用了改进的施密特正交化方法，从他们的梯度中提取出一组正交基，再把优化函数的梯度在上面做投影。
• 创新点：提出了一种基于三角网格的张力生成曲面的构造方法，可以生成同时满足高精度和高网格质量的张力生成曲面。一方面借鉴了基于平均曲率流张力生成曲面的构造方法，另一方面借用了三角形优化方法--重心Voronoi图方法。本文解决平均曲率流的能量函数与重心Voronoi图的优化函数冲突的方法是把平均曲率流限制在曲面的法向量内，重心Voronoi图的优化方向限制在切平面内，使得两种优化函数能在不同子空间中各自发挥最大的作用。
• 创新点：发现了一类自支撑曲面与四维空间中极小旋转超曲面的对应关系，并应用于自支撑曲面的构造。利用变分原理可以证明四维空间中的极小旋转超曲面的超母线是三维空间中的自支撑曲面，这为构造自支撑曲面提供了全新的理论基础。
• 创新点：发现了正交流场与静电场的对应关系，并应用于奇异点的优化。二维流形上的正交流场与静电场有着一种同构。正交流场的梯度与静电场正交且垂直。这个方法有如下几个优势：（1）奇异点的位置得到了优化，他们通常会分布在抵消高斯曲率的关键位置，从而增强流场的平滑性和对称性（2）奇异点的数量得到了减少，这样能有效抑制奇异点的存在对网络结构性的影响（3）计算量小，虽然对奇异点需要沿着电场力的方向多次调整，但每次对流场的平滑要求解的矩阵系数完全相同，因此只需要做一次LU分解即可多次应用分解结果。
• 创新点：提出了一种小角度畸变的参数化方法。新方法的主要创新思想把参数的梯度的模长作为未知变量，并寻找这些变量必须满足的约束条件和尽可能减少角度畸变的优化条件。对于约束最小二乘问题的求解，这里使用了基于最小模解的正交分解思想，把传统的用于求解正定矩阵方程的共轭梯度法改进为投影共轭梯度法。

二次贝塞尔曲线

• 贝塞尔曲线又称贝兹曲线或贝济埃曲线，是应用于二维图形应用程序的数学曲线。贝兹曲线由线段与节点组成，节点是可拖动的支点，线段像可伸缩的皮筋。
• 之所以发明贝塞尔曲线是因为：即使是一位精明的画师能轻松绘出各种图形，拿到鼠标想随心所欲的画图也不是一件容易的事。贝塞尔曲线由法国雷诺汽车公司的工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）于 1962 年所广泛发表，主要用来为汽车的主体进行设计。
• 它通过控制曲线上的四个点（起始点、终止点以及两个相互分离的中间点）来创造、编辑图形。其中起重要作用的是位于曲线中央的控制线。这条线是虚拟的，中间与贝塞尔曲线交叉，两端是控制端点。 
• 移动两端的端点时贝塞尔曲线改变曲线的曲率（弯曲的程度）；移动中间点（也就是移动虚拟的控制线）时，贝塞尔曲线在起始点和终止点锁定的情况下做均匀移动。
• 贝塞尔曲线示意图
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• 贝塞尔曲线线性公式：给定点P0、P1，线性贝兹曲线只是一条两点之间的直线。
• 贝塞尔曲线二次公式：二次方贝兹曲线的路径由给定点P0、P1、P2的函数B(t)追踪。
• 贝塞尔曲线三次公式：P0、P1、P2、P3四个点在平面或在三维空间中定义了三次方贝兹曲线。曲线起始于P0走向P1，并从P2的方向来到P3。一般不会经过P1或P2；这两个点只是在那里提供方向资讯。P0和P1之间的间距，决定了曲线在转而趋进P3之前，走向P2方向的“长度有多长”。
•  贝塞尔曲线的一般公式：
• 贝塞尔曲线动态实现效果演示网站：http://github.xuhehuan.com/quadratic-bezier/quadratic-bezier.html

剪应力

•  剪应力是应力的一种，定义为单位面积上所承受的剪力，且力的方向与受力面的法线方向正交。对于实腹式矩形截面和箱型截面，剪应力在分布上存在较大差异。

• 平均剪应力  V——计算截面上所受的剪力 A——计算截面面积 b——截面宽 h——截面高     

• 峰值应力 

• 基于剪力流的剪力计算公式  V——计算平面沿腹板平面作用的剪力 S——计算剪应力处以上或以下截面对中和轴的面积矩（静矩）I——截面惯性矩  t——腹板厚度 

弯矩

• 弯矩是受力构件截面上的内力矩的一种。它就是弯曲所需要的力矩，下部受拉为正（上部受压），上部受拉为负（下部受压）。它的标准定义为：与横截面垂直的分布内力系的合力偶矩。
• 其大小为该截面截取的构件部分上所有外力对该截面形心矩的代数和，其正负约定为是构件下凹为正，上凸为负(正负区分标准是构件上部受压为正，下部受压为负；反之构件上部受拉为负，下部受拉为正。
• 在列弯矩计算时，应用“左上右下为正，左下右上为负”的判别方法。凡截面左侧梁上外力对截面形心之矩为顺时针转向，或截面右侧外力对截面形心之矩为逆时针转向，都将产生正的弯矩，故均取正号；反之为负，即左顺右逆，弯矩为正。
• 弯矩公式：

弯矩图

• 弯矩图是一条表示杆件不同截面弯矩的曲线。
• 弯矩图的绘制主要有两个关键点：一是要准确画出曲线的形状，即确定弯矩图的图形特征：二是确定曲线的位置。
• 总结规律如下：

  （1）在梁的某一段内，若无分布载荷作用，即q(x)=0，由d²M(x)/dx²=q(x)=0可知，M(x)是x的一次函数，弯矩图是斜直线。

  （2）在梁的某一段内，若作用分布载荷作用，即q(x)=常数，则d²M(x)/dx²=q(x)=常数，可以得到M(x)是x的二次函数。弯矩图是抛物线。

  （3）在梁的某一截面内，若Fs(x)=dM(x)/dx=0,则在这一截面上弯矩有一极值（极大或极小）。即弯矩的极值发生在剪力为零的截面上。

施密特正交化

• 施密特正交化（Schmidt orthogonalization）是求欧氏空间正交基的一种方法。从欧氏空间任意线性无关的向量组α1，α2，……，αm出发，求得正交向量组β1，β2，……，βm，使由α1，α2，……，αm与向量组β1，β2，……，βm等价，再将正交向量组中每个向量经过单位化，就得到一个标准正交向量组，这种方法称为施密特正交化。
• 具体计算公式以及原理请参考http://www.360doc.com/content/18/0507/14/32196507_751871769.shtml

Voronoi图

• Voronoi网格多边形的主要思想是为点创建区域，使其区域（多边形）只受核心点的影响。
• Voronoi的定义：
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• Delauncy三角形构成网络的具体方法

共轭梯度法

       https://blog.csdn.net/lusongno1/article/details/78550803 

•  共轭梯度法（Conjugate Gradient）是介于最快下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储和计算Hesse矩阵并求逆的缺点。
• 其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。
• 共轭方向的定义：
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• 共轭方向的性质
• 共轭方向法算法描述
• 共轭梯度法的原理
• 共轭梯度算法描述
• 参考具体网址：
• https://blog.csdn.net/golden1314521/article/details/46242621