Prophet模型详细原理

Prophet模型详细原理

主要是为了自己以后可以及时查看笔记，如果有小伙伴有什么想法非常欢迎一起讨论。

模型形式

prophet模型原理是$$y(t)=g(t)+s(t)+h(t)+ϵ$$
其中$g(t)$是趋势函数，$s(t)$表示周期性函数，$h(t)$表是节假日、假期函数，$ϵ$表示误差或者是噪声等。

prophet模型依据的是时间序列的分解，有两种基本的形式：
$$y=g(t)+s(t)+h(t)+ϵ$$和$$y=g(t)\times s(t)\times h(t)\times ϵ$$
但是对于第二种形式，当我们考虑取对数时，很自然的就转化为第一种形式：$ln(y)=ln(g(t))+ln(s(t))+ln(h(t))+ln(ϵ)$，所以两种形式可以都作为可加模型（additive model）进行讨论。

趋势函数$g(t)$

对于趋势函数$g(t)$，有两种常用的构造方式：分段线性和分段逻辑回归。

分段logistic

先来看分段逻辑回归，对于普通的logistic，对应的响应函数是$\frac{1}{1+e^{-x}}$，在prophet中使用的与之类似，添加一些参数，变为$$f(x)=\frac{C}{1+e^{-k(x-m)}}$$其中C表示函数的最大渐进值，k表示增长率，m表示曲线的中点。

在时间序列问题中，三个参数我们一般认为是随着t变化而变化的，在现实的时间序列中，曲线的走势肯定不会一直保持不变，在某些特定的时候或者有着某种潜在的周期曲线会发生变化，存在变点，$i.e.$ change point。在实际应用prophet模型时，变点可以认为设置，也可以使用prophet自带的参数，默认prophet是25个变点。

对于设置好的S个变点，$s_j,1\le j\le S$，以${\delta }_j$表示在$s_j$时间戳上发生的增长率的变化量，则对于初始增长率是k，在时间$t$时刻的增长率应该等于$k+{\sum }_{j:t>s_j}{\delta }_j$，如果设置指示函数$\mathbf{a}:=\{\begin{array}{rl}1& ,forj\ge s_j\\ 0& ,otherwise\end{array}$，也就是$k+{\mathbf{a}}^T\mathbf{\delta }$，每次k确定了的话参数m也要跟着确定：
$${\gamma }_j=(s_j-m-\sum _{l<j}{\gamma }_l)\times (1-\frac{k+{\sum }_{l<j}{\delta }_j}{k+{\sum }_{l\le j}{\delta }_j})$$
得到对应的分段logistic函数：$$g(t)=\frac{C(t)}{1+exp(-(k+{\mathbf{a}(\mathbf{t})}^T\mathbf{\delta })\times (t-(m+{\mathbf{a}(\mathbf{t})}^T\mathbf{\gamma })))}$$
C(t)是需要人为限定的上线。

分段线性

分段线性使用的就是线性可加模型（LAM），对应的模型形式是：
$$g(t)=(k+\mathbf{a}(\mathbf{t}{)}^{\mathbf{T}}\mathbf{\delta })\times (t+(m+\mathbf{a}(\mathbf{t}{)}^{\mathbf{T}}\mathbf{\gamma }))$$

周期函数$s(t)$

s(t)基于傅里叶级数提供了一个灵活的模型：
$$s(t)=\sum _{n=1}^N(a_n\cos (\frac{2\pi nt}{P})+b_n\sin (\frac{2\pi nt}{P}))$$
其中P表示周期的时间，如果是年的话P就是365.25，如果是周的话P就是7

节假日效应$h(t)$

prophet最大的创新点就是可以把涉及到的节假日单独考虑，因为节假日呈现的趋势会与平日数据呈现的规律不同。

对应的节假日效应模型形式为：
$$h(t)=Z(t)\kappa =\sum _{i=1}^L{\kappa }_i\cdot I_{\{\in D_i\}}$$
其中L表示节假日的个数，${\kappa }_i$表示对应节假日的影响范围。

函数主要参数说明

参数	描述
growth	"linear"或者"logistic"两种趋势函数
changepoints	包括潜在突变点的日期列表
n_changepoints	如果不手动指定突变点，需要设置内置自动识别突变点的突变点数目
changepoint_prior_scale	突变点选择的灵活性，解决过拟合/欠拟合的问题，越大突变点的选择越灵活
cap	在使用分段逻辑回归的时候需要设置的上限