美赛 1：微分方程（建模篇）

目录

一、美赛-MCM 题型总览

二、《高等数学》第七章：微分方程

第一节 微分方程的概念

第二节 可分离变量的微分方程

第三节 齐次方程

第四节 一阶线性微分方程

第五节 可降阶的高阶微分方程

第六节 高阶线性微分方程

第七节 常系数齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程

第九节 欧拉方程

第十节 常系数线性微分方程组解法举例

三、微分方程建模概述

四、微分方程模型

1.人口预测模型

（1）马尔萨斯模型

（2）阻滞增长模型（Logistic模型）

2.生物种间关系模型

（1）捕食者-猎物模型

（2）种群相互竞争模型

（3）种群相互依存模型

3.传染病模型

（1）SI模型

（2）SIS模型

（3）SIR模型

（4）SIRS模型

（5）SEIR模型

 4.运载火箭模型

（1）为什么不能用一级火箭发射卫星？

（2）理想火箭模型

（3）多级火箭卫星系统

5.战争模型

（1）正规战模型

（2）游击战模型

（3）混合战模型

6.资源模型

（1）资源增长模型

（2）资源开发模型

（3）经济效益模型

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一、美赛-MCM 题型总览

原作者：数学建模清风

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二、《高等数学》第七章：微分方程

第一节 微分方程的概念

 

 

第二节 可分离变量的微分方程

第三节 齐次方程

第四节 一阶线性微分方程

 

第五节 可降阶的高阶微分方程

第六节 高阶线性微分方程

 

第七节 常系数齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程

第九节 欧拉方程

第十节 常系数线性微分方程组解法举例

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三、微分方程建模概述

 （注：本文章涉及的模型是对他人作品的整理，仅供学习参考）

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四、微分方程模型

1.人口预测模型

（1）马尔萨斯模型

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（2）阻滞增长模型（Logistic模型）

 

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2.生物种间关系模型

（1）捕食者-猎物模型

①原始模型

②考虑人工捕获因素

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（2）种群相互竞争模型

  

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（3）种群相互依存模型

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3.传染病模型

（1）SI模型

①原始模型

 

 

②考虑某种使得参数β降低的因素（例如禁止大规模聚会、采取隔离措施等）

β降低

③考虑人口出生率和死亡率的因素（不考虑疾病死亡率的因素）

 

④考虑疾病死亡率的因素（不考虑人口出生率和死亡率的因素）

 

⑤同时考虑人口出生率、死亡率和疾病死亡率的因素

 

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（2）SIS模型

①原始模型

 

②考虑某种使得恢复率α增加的因素（例如建立医院、升级医疗装备等）

α增加

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（3）SIR模型

①原始模型

 

 

②考虑某种使得康复率γ增加的因素（例如研发了疫苗、升级医疗装备等）

γ增加

③考虑疾病死亡率的因素（不考虑人口出生率和死亡率的因素）

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（4）SIRS模型

①原始模型

 

 

②考虑疾病死亡率的因素

 

②考虑抗体的因素

 

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（5）SEIR模型

①原始模型

 

②考虑潜伏者（E）具有传染性的因素

 

 

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 4.运载火箭模型

（1）为什么不能用一级火箭发射卫星？

①卫星进入600km高空轨道时，火箭必须达到的最低速度

②火箭推进力及升空速度

③一级火箭末速度上限

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（2）理想火箭模型

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（3）多级火箭卫星系统

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5.战争模型

（1）正规战模型

 

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（2）游击战模型

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（3）混合战模型

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6.资源模型

（1）资源增长模型

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（2）资源开发模型

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（3）经济效益模型