【论文阅读】Device Sampling for Heterogeneous Federated Learning: Theory, Algorithms, and Implementation

一、文章介绍

这篇文章被INFOCOM2021接收，解决的是异质联邦学习的设备采样问题。基于网络拓扑和设备性能限制，作者尝试在“节点采样”和“数据分流”中寻找一个最优组合。通过理论分析，作者提出了一个基于GCN的设备采样方法，探索“网络属性”、“采样节点”、“结果分流”之间的关系，最大化FL的精度。IoT设备上的实验表明了方法的有效性。

二、背景和目的

联邦学习会采样部分节点进行聚合，这些节点的性能和数据各异。我们希望（1）减少这些被采样的节点数据之间的相似性（更能代表全局数据信息），同时又（2）提升联邦学习的训练运行速度。

如图2所示，有 ABCDE 五个设备，“边”代表设备间数据的相似性，“顶点”代表设备性能。显然A（35）、B（30）性能相对更高，但A、B数据很相似（0.97），同时选A和B是不合适的。E和D数据差异大，但性能低，同时选择E和D也不合适。C（25）性能适中，利用D2D将E和D的数据分流到C，C的数据就包含了三个设备的数据信息。

作者利用这个例子，想说明：节点采样需要同时考虑“数据”和“性能”，数据分流是个可利用的方案。

三、建模

1、边缘设备模型

一组设备$\mathcal{N}=\{1,\cdots ,N\}$与服务器连接。对设备$i\in \mathcal{N}$来说：

• 数据处理能力$P_i(t)\ge 0$，单位数据处理成本$p_i(t)\ge 0$（异质、时变）；
• 数据传输预算${\Psi }_i(t)>0$，单位数据传输成本${\psi }_{i,j}(t)>0$（与带宽，信道干扰有关），距离更近的设备可能${\psi }_{i,j}(t)>0$更小；
• 局部数据集 ${\mathcal{D}}_i(t)$（会因数据分流随t改变），数据样本数$D_i(t)=|{\mathcal{D}}_i(t)|$；

2、网络拓扑

• 时变网络图$G=(\mathcal{N},\mathcal{E}(t))$ ，$N$表示可用的D2D拓扑，$\mathcal{E}(t)$表示图的边；
• 图的邻接矩阵定义为$\mathbf{A}(t)={\left[A_{i,j}(t)\right]}_{1\le i,j\le N}$，当$(i,j)\in \mathcal{E}(t)$ 表示 t 时刻 节点 $i$ 可以传输数据给 $j$，有$A_{i,j}(t)=1$，反之为0；
• ${\Phi }_{i,j}(t)\in [0,1]$ 表示节点 $i$ 给 $j$ 数据分流的比例（根据数据相似度来决定）；
• 相似度矩阵 $\mathbf{\lambda }(t)\triangleq {\left[{\lambda }_{i,j}(t)\right]}_{1\le i,j\le N}$，其中$0\le {\lambda }_{i,j}(t)\le 1$；
• 连接-相似度矩阵 $\mathbf{\Lambda }(t)\triangleq \mathbf{\lambda }(t)\circ \mathbf{A}(t)=\left[{\Lambda }_{i,j}(t)\right]$，其中 $\circ$ 表示哈达玛积；

3、联邦学习模型

联邦学习中，每$\tau$个周期聚合一次，有聚合公式：

${\mathbf{w}}_{\mathcal{S}}(k\tau )=\frac{{\sum }_{i\in \mathcal{S}}{\Delta }_i(k\tau ){\mathbf{w}}_i(k\tau )}{{\sum }_{i\in \mathcal{S}}{\Delta }_i(k\tau )}$

其中，$\mathcal{S}$ 表示被选择的设备集合，${\Delta }_i(k\tau )\triangleq {\sum }_{t=(k-1)\tau +1}^{k\tau }{D}_i(t)$ 表示节点$i$ 在第$k-1$ 到 $k$次聚合期间的局部总数据量。

联邦学习的目标是最小化基于所有设备的全局损失：

$F\left({\mathbf{w}}_{\mathcal{S}}(t)\mid {\mathcal{D}}_{\mathcal{N}}(t)\right)=\frac{{\sum }_{i\in \mathcal{N}}{D}_i(t)F\left({\mathbf{w}}_{\mathcal{S}}(t)\mid {\mathcal{D}}_i(t)\right)}{D_{\mathcal{N}}(t)}$

4、建模总结

我们定义 $\mathbf{x}\triangleq \left(x_1,\cdots ,x_N\right)$ 表示设备选择状态（被选择则$x_i=1$），要最优化两个目标（1）采样设备集 ${\mathcal{S}}^{\ast }$ 和 （2）分流比例 ${\Phi }_{i,j}^{\ast }(t)$，以此最小化全局损失，即，将优化问题 $\mathcal{P}$ 表示为：

$(\mathcal{P}):\underset{\mathbf{x},\{\mathbf{\Phi }(t){\}}_{t=1}^T}{\mathrm{minimize}}\frac{1}{T}{\sum }_{t=1}^{T}F\left({\mathbf{w}}_{\mathcal{S}}(t)\mid {\mathcal{D}}_{\mathcal{N}}(t)\right)...........(1)$

约束条件：

• 节点 $i$ 在 t 时刻的数据量为 $D_i(t)=D_i(t-1)+R_i(t),i\in \mathcal{N}$；
• 数据计算开销要在设备承受范围内 $p_i(t)D_i(t)\le P_i(t)$；
• 节点 $k$ 传给 $i$ 的数据量 $R_i(t)={\sum }_{k\in \mathcal{N}}{D}_k(t-1){\Phi }_{k,i}(t)\left(1-{\Lambda }_{k,i}(t-1)\right),i\in \mathcal{N}$；
• 要满足（1）$R_i(t)\le {\theta }_i(t)$，后者为节点 $i$ 的设备接收容量，（2）${\sum }_{i\in \mathcal{N}}{\Phi }_{k,i}(t)\le 1$，节点 $k$ 分流出去的数据量不超过自己的数据量；
• 数据传输开销要在设备承受范围内 $D_k(t-1){\sum }_{i\in \mathcal{N}}{x}_i{\Phi }_{k,i}(t){\psi }_{k,i}(t)\le {\Psi }_k(t),k\in \mathcal{N}$；
• 更新连接-相似度 ${\Lambda }_{k,i}(t)={\Lambda }_{k,i}(t-1)+\left(1-{\Lambda }_{k,i}(t-1)\right){\Phi }_{k,i}(t),i,k\in \mathcal{N}$；
• 
  保证数据分流只发生在相互信任的未采样节点 $k\in \hat{\mathcal{S}}$ 到采样节点 $i\in \mathcal{S}$ 之间；

四、方法

1、数据分流

作者基于若干定义和假设，推导得到了目标（1）的近似（对于$\mathbf{x}$已知的情况）：

$(\mathcal{P}):\underset{\{\mathbf{\Phi }(t){\}}_{t=1}^T}{\min }\frac{1}{T}{\sum }_{t=1}^T\underset{(a)}{\left(\frac{D_{\mathcal{N}}(t)-D_{\mathcal{S}}(t)}{D_{\mathcal{N}}(t)}\right)\overline{\nabla F(t)}}+\frac{1}{|\mathcal{S}|}{\sum }_{i\in \mathcal{S}}\underset{(b)}{\frac{\gamma }{\sqrt{D_i(t)}}},$

进一步将实时梯度近似为服务器上观察到的梯度：

$\overline{\nabla F(t)}\approx \overline{\nabla F(k\tau )}/{\alpha }_{k+1}^{t-k\tau }$

其中 ${\alpha }_{k+1}=\sqrt[\tau ]{\overline{\nabla F((k-1)\tau )}/\overline{\nabla F(k\tau )}}$。

作者将以上问题作为随时间变化的凸优化问题来解决，采用了CVXPY凸优化库进行了求解，得到了 $t$ 时刻最优数据分流解 $\mathbf{\Phi }(t{)}^{\ast }$。

2、设备采样

（1）核心思想

上图为基于GCN的设备采样方案，作者采用两层GCN:

• 节点特征向量 ${\mathbf{\pi }}_i\triangleq \left[D_i(0),P_i(0),p_i(0),{\theta }_i(0)\right]$
• 增广连接-相似度矩阵 $\tilde{\mathbf{A}}\triangleq \mathbf{\Lambda }(0)+{\mathbf{I}}_N$

GCN输出得到每个节点被采样的概率 $\mathbf{\Gamma }\in [0,1{]}^N$。

（2）GCN训练过程

• 随机生成若干组采样网络和节点数据 $e=1,\cdot \cdot \cdot ,E$;
• 对每一组生成，我们可以基于 ${\mathbf{\pi }}_e$ 和 ${\tilde{\mathbf{A}}}_e$凸优化求解得到最优分流比例；
• 计算FL的损失，损失最小的组 ${\mathbf{x}}_e^{\star }$ 作为GCN的输出标签；

上述操作为GCN提供了训练样本${\left[\left({\mathbf{\pi }}_e,{\tilde{\mathbf{A}}}_e,{\mathbf{x}}_e^{\star }\right)\right]}_{e=1}^E$ ，以此训练好GCN。

3、联邦学习训练过程

对于一个目标图网络，我们已知它的 $\mathbf{\pi }$ 和 $\tilde{\mathbf{A}}$，将其输入到训练好的GCN中得到概率输出 $\mathbf{\Gamma }=H(\mathbf{\pi },\tilde{\mathbf{A}}),\mathbf{\Gamma }={\left[{\Gamma }_{\bar{i}}\right]}_{1\le i\le N}$，接下来

• 首先根据概率最大选择第一个节点 $S=S\cup \left\{s_1\right\}$，即$s_1=\arg {\max }_{i\in {\mathcal{N}}_p}$，其中 ${\mathcal{N}}_p$ 是初始数据量98th百分点集合；
• 然后基于采样概率最高、聚合数据相似度最小选择后续采样节点$S=S\cup \left\{s_n\right\}$，具体来说，$s_n=\arg {\max }_{i\in {\mathcal{R}}_{s_{n-1}}}{\Gamma }_i$，其中${\mathcal{R}}_{s_{n-1}}$表示$s_{n-1}$的数据不相似度98th百分点邻居节点集合；
• 一旦采样节点被确定后，求解最优数据分流方案并分流数据；
• FL训练并聚合模型。

五、总结

这篇文章知识量很大，考虑了D2D场景下的联邦学习，提出数据分流方案，并对数据分流提供了严密的理论分析，利用理论求得最优分流解（这里我没有细看理论推导过程）。同时，采用GCN来最优化设备采样方案。无论是在方法、理论、工作量这几个方面上都很强。