t分布（Student t distribution）——正态分布的小样本抽样分布

目录

大样本抽样分布

正态分布小样本抽样分布—t分布

运用t分布构建小样本抽样均值的置信区间

运用t分布进行小样本抽样均值检验

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大样本抽样分布

对于大样本的抽样分布，由中心极限定理，无论总体分布是否为正态分布，其均值x_bar的抽样分布为近似正态分布，同时对于较大的n（n>=30），s将会是σ的优良估计。

x_bar的抽样分布的置信区间可以使用z统计量来构建，z统计量为：

x_bar的抽样分布的置信区间为：

其中Zα/2是z的右边使得右尾面积等于α/2的z值（如Figure 6.5），σx_bar是x_bar抽样分布的标准差，σ是总体的标准差，s是样本的标准差

正态分布小样本抽样分布—t分布

对于小样本来说，如果总体分布为（近似）正态分布，则样本均值也符合（近似）正态分布，但是小样本的的方差不是总体方差σ的优良估计，这时需要用到t分布来刻画总体的方差。

定义统计量t：

如果我们从正态分布中抽取样本，则t统计量就与z统计量极其相似的抽样分布：钟型、对称、均值为0。两个分布的主要区别是t统计量比z统计量具有更大的变动性，因为t统计量包含随机变量x_bar和s，而z统计量仅包含x_bar。

t统计量的抽样分布的总变异性取决于样本量n，假设样本数为n，则称df=n-1为t分布的自由度。一般来说t分布比正态分布更宽、更扁平，当n趋紧于总体时，t分布就时总体正态分布，s-->σ

t分布表如下：

运用t分布构建小样本抽样均值的置信区间

运用t分布构建小样本抽样均值的置信区间时，一般来说，σ未知，X_bar置信区间为：

其中tα/2是基于n-1个自由度t分布中右尾面积a/2对应的t值

运用t分布进行小样本抽样均值检验

小样本均值检验与小样本均值置信区间估计类似