【矩阵论】线性空间与线性变换(6)

有关线性映射的[值域空间]和[核子空间]的讨论


一. 满射、单射与双射

  1. 定义回顾

在前一篇文章《【矩阵论】线性空间与线性变换(5)》中我们对线性映射的值域和核子空间进行了定义:
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同样地,我们也对线性映射的类型进行了讨论:
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2. 定理描述

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首先:根据线性映射的满射和单射,其值域空间和核子空间分别会与集合U和零空间相等。

又因为:两个有限维度的线性空间相等,可以转换成证明两个空间的维度相等;

因此:要证明一个线性映射是满射或者是单射,只需要证明线性映射的值域空间维度与U维度一致+证明线性映射的核子空间维度为0.

  1. 定理证明

下面对上述定理中的第二条充要条件进行证明。

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【必要性】:已知f为单射,要证明f的核子空间为零空间。

要证明一个空间为零空间,则需要证明对于任意一个向量η∈K(f),都有η = θ。

按照核子空间的定义,应该有f(η) = θ;又因为f是一个线性映射,所以应该有f(θ) = θ;

那么按照单射的定义,只可能是η = θ。
#证毕

【充分性】:已知线性映射f的核子空间是零空间,要证明映射f是一个单射。

假设存在两个向量x,y,其映射之后的像相等,也就是【f(x) = f(y)】,变形后也就是【f(x)-f(y) = θ

根据线性映射关于线性运算封闭的定义,则有【f(x-y) = θ】,那么左式是符合核子空间的定义,则【(x-y)∈K(f)

即:(x-y) = θ,从而推出x = y


  1. 值域空间基与维数的求解

按照前面我们讨论以及证明的定理来看,在求解单射、满射以及双射的相关问题时,我们需要对映射f的值域空间R(f)和映射f的核子空间K(f)进行求解。

(1)定理描述

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(2)定理理解

我们要求解R(f)的基,也就是求解R(f)的极大线性无关组。根据定义,直到R(f)是由f(α1),f(α2),f(α3),…,f(αs)这组向量张成的线性空间,那么问题就可以转换成求解f(α1),f(α2),f(α3),…,f(αs)的极大线性无关组

根据线性映射的矩阵描述,我们可以得到如下等式
f(α1),f(α2),f(α3),…,f(αs) = (β1,β2,…,βs)A

其中矩阵A写成列分块矩阵后,第i列就是f(αi)这个向量在(β1,β2,…,βs)这组基下的坐标。

根据我们讨论过的【向量与坐标的等价性】,问题再一次被转换成求解矩阵A的极大线性无关组,使用初等行变换即可。
矩阵A具有的一些空间性质(维度,极大无关组,线性相关性等)都可以自然地延伸到R(f)这个待求空间上


  1. 核子空间基与维数的计算

(1)定理描述

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(2)定理理解

因为核子空间是基于一个约束式子f(δ) = θ进行定义的,其自身的理解并不是很直观。所以我们要先把核子空间的一般形式求解出来,找到该空间的直观表示方式后,再求解该空间的基与维数。

按照上图中给出的线性映射的矩阵表示,在V中的任意一个向量η,其坐标为X,经过映射后,其坐标为AX。
如果,η这个向量同时也在f的核子空间中,那么就有f(η) = AX = θ,也就是映射后的向量在基β1,β2,…βn的坐标表示是θ向量。

那么,对核子空间的求解,转化成对于齐次方程组AX = θ进行求解;
求解核子空间的极大无关组,也转化成求解方程组的基础解系。
在这里插入图片描述
(3)维数定理——核子空间和值域空间

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在前一篇文章中我们是通过例题计算验证了这一结论,这里我们通过数理逻辑对这一结论进行了证明。

【推论】对于一个可逆的变换(双射),证明单射和满射是互为等价的
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证明思路如下,以下步骤均为等价变换
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若f是一个单射,根据性质,核子空间K(f)为零空间,则K(f)空间的维度即为0,代入维数定理中可以得到,值域空间R(f)的维度和集合V的维度相等,则有R(f) = V,按照定义,就说明f是满射。


【例】求解f的值域空间和核子空间 - 1
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<求解值域空间>
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对A进行初等行变换,可以从中求得值域空间的维数性质。

注意!!在求基的时候,要代回到没有进行初等行变换的矩阵。
因为按照线性变换f的矩阵表示,满足的是f(α1),f(α2),f(α3),…,f(αs) = (α1,α2,…,αs)A,也就是A的第i列为f(αi)相应的坐标表示

所以最后求解出来的基是ε1+ε3,2ε1-ε2+ε3;而不是ε1,ε2.

<求解核子空间>

对于齐次方程组AX = θ求解基础解系,同样是对A进行初等行变换,可以得到解空间的基础解系为[-2,1,1]T
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找到基础解系后,核子空间和值域空间略有不同,它是一个抽象的线性空间,而非从列向量中进行选择。
确定了基之后,就能把核子空间的基完整表达出来,同时也确定了空间的维度。


【例】求解f的值域空间和核子空间 - 2
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由题需求,给出的某一个线性变换的值域空间R(f)与核子空间K(f)的基和维数。

根据前面的定义,只需要找到线性变换集合F2x2中的一组基,以及在这一组基下变换f的矩阵即可。
之后R(f)空间和K(f)空间就可以借助矩阵来进行求解。

<求解线性变换的矩阵A>
通常要求解线性变换对应的矩阵,按照线性变换矩阵表示的定义,打好框架即可。
选取的F2x2的基就是最自然的那一组E11,E12,E21,E22
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代入到线性变换的定义式中,即可以求解出矩阵A。

<值域空间的求解>
对求解出来的矩阵A进行初等行变换,值域空间和矩阵A的列空间具有相同的性质。
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同样要注意我们在第一个例题中讲过的,最后找基的时候,要借助原来的A矩阵的各个列向量来看。(不能使用经过行变换后的矩阵)

<核子空间的求解>
求解出了值域空间的维数之后,根据维数定理马上就能得到核子空间的维数为1.
同样需要对A进行初等行变换,转换成最简形矩阵,解得以矩阵A作为系数矩阵的齐次线性方程组AX = θ的基础解系。
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在上图中,基础解系中含有的向量就是[-1,1,-1,1]T

要注意的是,求出来的基础解系并不是最终我们需要的核子空间的基,我们求出来的只是基在选定的E11,E12,E21,E22这组基的下的坐标
因此最终我们需要的解是-E11+E12-E21+E22 = [[-1,1],[-1,1]]这个矩阵。


二. 不变子空间

【前言】
我们前面花了很多篇幅讨论了线性映射的矩阵表示,以及通过矩阵来进行相关性质的求解。

其核心就是,对于一个从V到V的映射f,我们在找到V的一组基α1,α2,α3,…,αs之后,可以把线性映射表示成基于这组基的一个矩阵A。

而我们引出“不变子空间”这个概念,就是希望我们可以尽可能地使矩阵A的表示简单一点。

  1. 不变子空间的定义

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也就是对原来从V到V的一个映射,我们能在V中找到一个子集W,使得映射f在w上的部分,也是从w到w变换的,不会出现从w映射到(V-W)的部分。

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  1. 讨论“不变子空间”的重要性

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根据上图,若将线性变换的原始集合V分解成两个不变子空间的直和,那么根据我们在《【矩阵论】线性空间与线性变换(3)(4)》中所讨论的直和的定义与性质

不变子空间V1和不变子空间V2分别都可以找到一组基,而两个不变子空间的基的和就是最终的空间V的基。

此时,若我们想要对线性映射f进行矩阵表示,按照打好的框架就有
(f(a1)…f(ar),f(ar+1)…f(an)) = (a1 a2…ar,ar+1,…,an)A的形式

其中,f(a1)…f(ar)只在V1不变子空间中出现,可以只表示成a1 a2…ar的线性组合的形式;
同理,f(ar+1)…f(an)可以只表示成ar+1,…,an的线性组合的形式。

那么,线性变换的表示矩阵A就可以写作一个分块对角阵,其形式和运算得到很大简化。

【例】利用不变子空间的定义对线性映射进行相关求解
在这里插入图片描述

根据题意,要证明线性映射f在任意基下的矩阵均相似于[[I,O],[O,O]];实际上就是要找到存在一组基,使得线性变换f在这组基下的矩阵表示就是[[I,O],[O,O]]。

因为在《【矩阵论】线性空间与线性变换(5)》这一节中的第四部分中,我们进行过证明,“不同基表示下的线性变换的矩阵都是相似的”

那么问题就转换成如何找到满足条件的那一组基。因为给出的矩阵的形式是分块对角阵,因此想到利用前面讨论过的有关不变子控件的定义和定理,把线性映射的集合V展开成两个不变子空间的直和。

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由上图,构造出V1和V2两个子空间,现需要证明V就是这两个子空间的直和。

在《【矩阵论】线性空间与线性变换(3)(4)》中我们讨论过有关直和的定义和性质,以下进行简短回顾,如果想详细了解,可见上文。

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要证明V是V1和V2的直和,只需要证明两点即可。

其一:V1和V2的交集为零空间
在这里插入图片描述
也就是从V1∩V2中任取一个向量,要能推出该向量为零向量。
根据V1和V2的定义,η∈V1∩V2,则有η∈V1和η∈V2,那么即f(η) = η = θ,则η = θ。

其二:V = V1+V2

要证明两个集合相等,按照老套路,只需要证明两个集合相互包含即可。
显然可证V包含V1+V2,不再论述。因为V的定义能对V1和V2的定义同时满足。

以下只对V1+V2包含V进行证明,也就是任取一个元素η属于V,要证明该元素η也属于V1+V2
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将任意一个元素η拆解成上述形式,可以证明f(η)是在V1空间内的,η-f(η)是在V2空间内的,故就证明了任意一个V中的元素都可以表示成V1中的元素和V2中的元素之和的形式。

通过上面的论述证明了V是V1和V2的直和,现在需要对这个线性变换f进行矩阵表示。

对于空间V1找到一组基ε1,ε2,…,εr
对于空间V2找到一组基εr+1,εr+2,…,εn
那么根据直和的性质,空间V的基就是ε1,ε2,…,εr,εr+1,εr+2,…,εn
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按照上图的右边部分打好求解矩阵的框架,那么第一列就是要求解f(ε1)在基ε1,ε2,…,εr,εr+1,εr+2,…,εn下的坐标。

又因为f(ε1)是在V1子空间中,根据V1子空间的定义,知道f(ε1) = ε1,所以第一列的坐标可以写作是1,0,0,…0.
同理,就可以得到最后的表示矩阵形如[[I,O],[O,O]]

以上,需要对线性变换所对应的矩阵进行一个简单的表示,实质上对集合进行恰当的直和分解。

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