(1分钟速览)SLAM问题中一般方程和超定方程的求解

今天在学习的过程中偶然看到了一个博客，总结Ax=b的，那么我也写一篇。

首先就是判断A的秩和(A|b)的秩之间的关系，然后通过这个关系来进行进一步地判断。

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求解方法：

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第一个是LU分解，相信大家都已经很熟悉了，这种计算的话形式非常好看，但是分析其加法和乘法的次数可以知道，这种做法并没有加快矩阵计算。

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Cholesky分解，这个证明过程就是利用了LU分解来进行证明的，同理，这个也没有加快矩阵的计算，只是在计算过程中，外表显得更加优雅。

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QR分解，其中Q是酉矩阵，但是Q还是大部分被认为是正交矩阵，在实数域上。QR分解用于稳定求解病态最小二乘问题，因此QR分解是最小二乘问题的好帮手。并且QR分解可以将相机矩阵转换为一个旋转矩阵和一个上三角的标定矩阵，这里的相机矩阵没看懂，可能是内参矩阵K？不知道，但是从后面这个转换成旋转矩阵和标定矩阵来看的话，感觉QR分解的功能还是非常强大的。

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这个奇异值分解的作用也很大，在SLAM后端的优化过程中，可以配合最小二乘来进行问题的解决。

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知道特征值和奇异值之间的关系，特征值是对应奇异值的平方。其中特征值代表了数据的离散程度，这个在机器学习的面试中可能会问到！特征值越大，则特征值代表的那个方向上的数据就越离散，那么其可区分度就越高。

然后这里还有一种Ax=b无解的情况，就是说这个方程是超定方程。那么此时我们可以用最小二乘拟合来对这个方程进行求解，ATAx=ATb这个方程就是求解最小二乘拟合系数的，通过这个方程进算出来的x称为最小二乘意义下的最优解，这个在SLAM问题中是经常用到的，而且如果你研究生阶段是研究SLAM的后端的话，那么这个最小二乘可能是你面试时候经常遇到的问题。