凸四边形上的双线性插值

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在图形学中对于物体的描述往往是离散，但是在具体展示过程中我们又希望是连续。线性插值是解决离散与连续的常用手段。在三角形中的插值之前已经有了点击前往。本文是针对凸四边形的插值。

矩形上的双线性插值

$对于矩形Q_{11}{Q}_{21}{Q}_{22}{Q}_{12},只知道4个角点上的函数值f(Q_{11})f(Q_{21})f(Q_{22})f(Q_{12})$

现在想知道P处的值。

可以采用双线性插值。

先在x方向上进行插值。

$f(x,y_1)=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{11})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{21})$

$f(x,y_2)=\frac{x_2-x}{x_2-x_1}f(Q_{12})+\frac{x-x_1}{x_2-x_1}f(Q_{22})$

然后利用上面的结果，在y方向上进行插值。

$f(x,y)=\frac{y_2-y}{y_2-y_1}f(x,y_1)+\frac{y-y_1}{y_2-y_1}f(x,y_2)$

$=\frac{(x_2-x)(y_2-y)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}f(Q_{11})+\frac{(x-x_1)(y_2-y)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}f(Q_{21})$

$+\frac{(x_2-x)(y-y_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}f(Q_{12})+\frac{(x-x_1)(y-y_1)}{(x_2-x_1)(y_2-y_1)}f(Q_{22})\dots \dots \dots \dots (1)$

单位正方形上的双线性插值

$假设x_1=y_1=0,x_2=y_2=1$
那么

$(x_2-x_1)(y_2-y_1)=1$

则（1）式可以变成

$f(x,y)=(1-x)(1-y)\cdot f(0,0)+x(1-y)\cdot f(1,0)+(1-x)y\cdot f(0,1)+x\cdot y\cdot f(1,1)\dots \dots \dots \dots （2）$

凸四边形上的插值

$对于凸四边v_1{v}_2{v}_3{v}_4,只知道4个角点上的函数值f(v_1)f(v_2)f(v_3)f(v_4)$

现在想知道P区域内点x处的值。

双线性插值转化

可以将四边形参数化到单位正方形，然后构造一个双线性插值的形式。

$对于x\in P,x可以由四个角点插值得到$
$x=(1-\lambda )(1-\mu )\cdot v_1+\lambda (1-\mu )\cdot v_2+(1-\lambda )\mu \cdot v_4+\lambda \cdot \mu \cdot v_3\dots \dots \dots \dots （3）$

则
$f(x)=(1-\lambda )(1-\mu )\cdot f(v_1)+\lambda (1-\mu )\cdot f(v_2)+(1-\lambda )\mu \cdot f(v_4)+\lambda \cdot \mu \cdot f(v_3)\dots \dots \dots \dots （4）$

$只要我们求得\lambda 和\mu ，f(x)就可以得到。$

求解未知数

一共2个未知量需要2条方程，式子（3）已经有一条方程。

$对于插值的基函数{\varphi }_i,\sum _{i=1}^4{\varphi }_i=1$

$对于式子（3）来说({\varphi }_1,{\varphi }_2,{\varphi }_3,{\varphi }_4)=[(1-\lambda )(1-\mu )，\lambda (1-\mu )，(1-\lambda )\mu ，\lambda \cdot \mu ]$

现在有2条方程了，理论上可以解出两个未知数。
下面来解出这两个未知量。

先定义一些下面要用到的变量名。

x为P区域内一点。

$d_i=v_i-x,i=\{1,2,3,4\}$

$A_i为△x{v}_i{v}_{i+1}的面积=d_i\times d_{i+1}/2。$

$B_i为△x{v}_{i-1}{v}_{i+1}的面积=d_{i-1}\times d_{i+1}/2。$

根据式子（3）对x移项可以得到

$(1-\lambda )(1-\mu )\cdot (v_1-x)+\lambda (1-\mu )\cdot (v_2-x)+(1-\lambda )\mu \cdot (v_4-x)+\lambda \cdot \mu \cdot (v_3-x)=0$

用di替换得到

$(1-\lambda )(1-\mu )\cdot d_1+\lambda (1-\mu )\cdot d_2+(1-\lambda )\mu \cdot d_4+\lambda \cdot \mu \cdot d_3=0$

$对两边同时除以\lambda \cdot \mu$

$令\alpha =\frac{1-\lambda }{\lambda },\beta =\frac{1-\mu }{\mu }$

$\alpha \beta \cdot d_1+\beta \cdot d_2+\alpha \cdot d_4+d_3=0\dots \dots \dots \dots （5）$

提取α得到

$\alpha (\beta \cdot d_1+d_4)+(\beta \cdot d_2+d_3)=0$

$利用自己与自己叉乘等于0性质，两边都乘以(\beta \cdot d_1+d_4),得到$

$(\beta \cdot d_1+d_4)\times (\beta \cdot d_2+d_3)$

$={\beta }^2{d}_1{d}_2+\beta (d_1\times d_3+d_2\times d_4)-d_3\times d_4$

根据上面定义替换

$={\beta }^2{A}_1+\beta (B_2+B_3)-A_3=0$

根据韦达定理公式，解一下上面这个一元二次方程可以得到β，取正值。

$\beta =\frac{-B_2-B_3+\sqrt{(B_2+B_3{)}^2+4A_1{A}_3}}{2A_1}$

$\therefore \mu =\frac{1}{1+\beta }=\frac{2A_1-B_2-B_3+\sqrt{(B_2+B_3{)}^2+4A_1{A}_3}}{2A_1}$

同理对（5）式提取β.

$\beta (\alpha \cdot d_1+d_2)+\alpha \cdot d_4+d_3=0$

$==>(\alpha \cdot d_4+d_3)\times (\alpha \cdot d_1+d_2)=0$

$==>{\alpha }^2{d}_4{d}_1+\alpha (d_4\times d_2+d_3{d}_1)-d_2{d}_3=0$

$==>{\alpha }^2{A}_4+\alpha (B_1+B_4)-A_2=0$

$==>\alpha =\frac{-B_1-B_4+\sqrt{(B_1+B_4{)}^2+4A_4{A}_2}}{2A_4}$

$\lambda =\frac{1}{1+\alpha }=\frac{2A_4}{2A_4-B_1-B_4+\sqrt{(B_1+B_4{)}^2+4A_4{A}_2}}$

$\lambda ,\mu 全部解出$

结论

对P区域内一点x, 的函数值可以由下式得到。

$f(x)=(1-\lambda )(1-\mu )\cdot f(v_1)+\lambda (1-\mu )\cdot f(v_2)+(1-\lambda )\mu \cdot f(v_4)+\lambda \cdot \mu \cdot f(v_3)$

$其中\mu ,\lambda 可以由x与角点组成的三角形的面积来表示$

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