PDF标准详解（三）—— PDF坐标系统和坐标变换

之前我们了解了PDF文档的基本结构，并且展示了一个简单的hello world。这个hello world 虽然只在页面中显示一个hello world 文字，但是包含的内容却是不少。这次我们仍然以它为切入点，来了解PDF的坐标系统以及坐标变换的相关知识

图形学中二维图形变换

中学我们学习了平面直角坐标系，x轴沿着水平方向从左往右递增，Y轴沿着竖直方向，从下往上坐标递增。而PDF的坐标系与数学中的坐标系相同。但是PDF的坐标是有单位的，PDF的坐标单位为磅，一般来说他们与英寸等的转化关系为
1 磅 = 1/72 英寸
因为PDF需要做到设备无关，也是就是在不同的显示像素和打印机上，显示的长度都一致，所以这里不能采用像素做单位。但是我们可以通过相关的接口来将这个单位转化为像素。例如在Windows平台可以通过下列的代码来获取一英寸有多少像素

HDC hdc = GetDC(NULL);
short cxInch = GetDeviceCaps(hdc, LOGPIXELSX);
short cyInch = GetDeviceCaps(hdc, LOGPIXELSY);
ReleaseDC(NULL, hdc);

对于我的显示器来说，水平和竖直方向都是 1英寸=96像素

有了这些概念之后，我们来看一个例子，下面是在页面的(200， 200) 位置画一个 长宽都为100的正方形

3 0 obj % 页面内容流
<< >>
stream % 流的开始
200 200 100 100 re S
endstream % 流结束
endobj

之前说过，页面显示内容在页面流中，因此这里我们将内容放置到页面流对象中。前面的200 200 是矩形的起始位置。后面的100 100 分别是长和宽。re 代表我们要构建一个矩形，最后的S表示要显示这个图形。严格意义上来说，re 和S都是路径构造所使用的操作符。这里的矩形也不单单是一个图形，它是一个路径。关于他们的概念将在后面继续介绍。下面我们来介绍基本的2D图形变换

平移

假设一个点原始坐标是(x1, x2)，那么沿着x轴平移a，y轴平移b，那么平移之后点的坐标为 (x1 + a, x2 + b) ，转换成矩阵就是
[ x y 1 ] [ 1 0 0 0 1 0 a b 1 ] = [ x + a y + b 1 ] \begin{bmatrix} x & y & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ a & b & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x + a & y + b & 1\end{bmatrix} [x​y​1​] ​10a​01b​001​ ​=[x+a​y+b​1​]

旋转

利用中学的知识可以知道
$$x_1=r\ast cos(\theta +\psi )=r\ast (cos\theta \ast cos\psi -sin\theta \ast sin\psi )=x\ast cos\theta -ysin\theta$$

同理，我们可以得到
$$y_1=r\ast sin(\theta +\psi )=r\ast (sin\theta \ast cos\psi +cos\theta \ast sin\psi )=x\ast sin\theta +y\ast cos\theta$$

转换成矩阵就是
[ x y 1 ] [ c o s θ s i n θ 0 − s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ] = [ x ∗ c o s θ − y ∗ s i n θ x ∗ s i n θ + y ∗ c o s θ 1 ] \begin{bmatrix} x & y & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} cos\theta & sin\theta & 0 \\ -sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x*cos\theta - y*sin\theta & x*sin\theta+y*cos\theta & 1\end{bmatrix} [x​y​1​] ​cosθ−sinθ0​sinθcosθ0​001​ ​=[x∗cosθ−y∗sinθ​x∗sinθ+y∗cosθ​1​]

缩放

缩放就是将坐标扩大或者缩小为原来的多少倍，我们可以很清楚的知道
$$x_1=x\ast a{y}_1=y\ast b$$

这里的a和b都是缩放的系数
利用矩阵表示就是
[ x y 1 ] [ a 0 0 0 b 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} x & y & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} [x​y​1​] ​a00​0b0​001​ ​

pdf 矩阵变换

还有另外几种变换，这里就不一一列举了。现在我们知道二维图形的变换使用一个矩阵就能进行描述。所以PDF在变换图形的时候直接使用的是变换的矩阵。另外我们观察到对于二维变换来说，最后一列一直都是 0 0 1这三个数字。所以pdf中设置变换矩阵时忽略最后一列，仅仅保留前两列，采用6个数字
[ a b 0 c d 0 e f 1 ] \begin{bmatrix}a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1\end{bmatrix} ​ace​bdf​001​ ​

这个矩阵在PDF中表现为 a b c d e f。

回到我们之前hello的例子中，我们在 hello world 字符流开始的时候，给定了几个数字
1. 0. 0. 1. 50. 700. cm
各个数字之间采用空格隔开，这里数字后面跟的点表示它是一个浮点数。我们可以将这一列数字写成如下的矩阵
[ 1.0 0.0 0 0.0 1.0 0 50.0 700.0 1 ] \begin{bmatrix}1.0 & 0.0 & 0 \\ 0.0 & 1.0 & 0 \\ 50.0 & 700.0 & 1 \end{bmatrix} ​1.00.050.0​0.01.0700.0​001​ ​

这个矩阵我们叫做当前变换矩阵 (Current Transformation Matrix CTM),最后的cm表示使用该矩阵进行图形变换。它是current matrix 的缩写

所以上述这一串数值的意思就是将 hello world 这个字符串平移到页面坐标 (50, 700) 的位置

PDF 中控制图形变换的操作符

现在我们利用这个上述知识来做一个小练习。我们将一个长宽都为100 的矩形在 (200, 200) 位置逆时针旋转45°
绕任意点旋转，可以先将该点移动到坐标原点，然后按照坐标原点的进行旋转的公式进行计算，最后再将坐标点平移回原来的位置。这个过程产生3个变换矩阵

平移矩阵
[ 1 0 0 0 1 0 − C x − C y 1 ] \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -C_x & -C_y & 1\end{bmatrix} ​10−Cx​​01−Cy​​001​ ​

旋转矩阵
[ c o s θ s i n θ 0 − s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix}cos\theta & sin\theta & 0 \\ -sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} ​cosθ−sinθ0​sinθcosθ0​001​ ​

平移矩阵
[ 1 0 0 0 1 0 C x C y 1 ] \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ C_x & C_y & 1\end{bmatrix} ​10Cx​​01Cy​​001​ ​

我们将这三个矩阵相乘
[ 1 0 0 0 1 0 − C x − C y 1 ] ∗ [ c o s θ s i n θ 0 − s i n θ c o s θ 0 0 0 1 ] ∗ [ 1 0 0 0 1 0 C x C y 1 ] \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ -C_x & -C_y & 1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}cos\theta & sin\theta & 0 \\ -sin\theta & cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} * \begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ C_x & C_y & 1\end{bmatrix} ​10−Cx​​01−Cy​​001​ ​∗ ​cosθ−sinθ0​sinθcosθ0​001​ ​∗ ​10Cx​​01Cy​​001​ ​

最终得到这样一个矩阵
[ c o s θ s i n θ 0 − s i n θ c o s θ 0 C x − C x c o s θ + C y s i n θ C y − C x s i n θ − C y c o s θ 1 ] \begin{bmatrix}cos\theta & sin\theta & 0 \\ -sin\theta & cos\theta & 0 \\ C_x - C_xcos\theta+C_ysin\theta & C_y-C_xsin\theta-C_ycos\theta & 1\end{bmatrix} ​cosθ−sinθCx​−Cx​cosθ+Cy​sinθ​sinθcosθCy​−Cx​sinθ−Cy​cosθ​001​ ​
因此这里可以这样写

3 0 obj     % 页面内容流
<< >>
stream      % 流的开始
200 200 100 100 re S %原始矩形
0.7 0.7 -0.7 0.7 200 -80 cm%进行坐标变换
200 200 100 100 re S %变换后的矩形
endstream   % 流结束
endobj

这样我们可以得到如下所示的图形

这个时候我们会发现，同样是(200, 200) 的位置，在变换前和变换后，得到不一样的图形，这就说明我们的坐标系统被改变了。不再是水平和竖直方向的x y轴了。如果我们想要它变回原来的位置该怎么办？

在GDI或者其他框架的图形编程中，在改变画笔、画刷等图形状态的时候，会首先保存原来的，然后更新，最后再还原。同样在PDF中，也存在有这样的保存和还原的操作符。我们使用q/Q这么一对操作符来完成保存和还原的操作。

我在原来的基础上，再加一个矩形，在(400, 400) 位置画一个长宽都是100的矩形

3 0 obj     % 页面内容流
<< >>
stream      % 流的开始
200 200 100 100 re S %原始矩形
0.7 0.7 -0.7 0.7 200 -80 cm%进行坐标变换
200 200 100 100 re S %变换后的矩形
400 400 100 100 re S % 这个矩形是相对于 (200, 200) 这个点旋转了45°的矩形
endstream   % 流结束
endobj

我们再采用q/Q这一对操作符来保存和还原图形状态

3 0 obj     % 页面内容流
<< >>
stream      % 流的开始
200 200 100 100 re S %原始矩形
q
0.7 0.7 -0.7 0.7 200 -80 cm%进行坐标变换
200 200 100 100 re S %变换后的矩形
Q
400 400 100 100 re S 
endstream   % 流结束
endobj

这个时候我们发现它已经在(400, 400) 这个位置画了一个矩形。没有任何的图形变换

PDF中将图形状态保存成一个栈结构，每次执行q就是将当前图形状态进行入栈，使用Q将之前保存在栈顶的图形状态进行出栈，并还原成当前图形状态。一般来说q/Q必须成对出现。
好了，本节到这里就结束了。本节主要介绍了图形变换矩阵以及PDF中变换矩阵的操作符cm以及q/Q 这一对保存和还原图形状态的操作符