机器人机构学的数学基础——绪论

——这是读书笔记1
与机构学和机器人学联系紧密的数学工具中，人们比较熟悉线性代数与矩阵理论，对旋量理论、李群李代数等现代数学工具还知之甚少。而后者在机构学与机器人学研究领域里近年来越来越受到重视，并得到了日益广泛的应用。

旋量理论和李群、李代数理论在现代物理学和刚体运动领域取得了成功的应用， 也日渐成为现代机构学和机器人学研究的有效分析工具。随着科技的飞速发展， 促进了机器人学与机构学研究领域的不断拓新， 对其理论支撑的要求也越来越高， 如高速、重载、精微等，应用传统的数学工具解决这些问题有时变得十分困难甚至无能为力，而新的数学工具可以为之提供新方法、新思路、新途径。

机构学与机器人学的发展均禽不开数学的椎动作用， 先进的数学工具更是给现代机构学与先进机器人技术的发展注入了强大的动力。

机构学在广义上又称机构与机器科学（ Mechanism and Machine Science)，是机械设计及理论二级学科的重要研究分支。

现代机构学发展的重要标志之一便是机器人2机构学的诞生。
机器人机构学研究的对象主要是机器人的机械系统以及机械与其他学科的交叉点。

与机构及机器人有关的基本知识

构件（link）：机械系统中能够进行独立运动的单元体，机器人中的构件多为刚性连杆。
运动副（kinematic pair joint，简称关节或饺链）：是指两构件既保持接触又有相对运动的活动联接。根据低副所具有的运动性质不同， 又可细分为转动副（revolute joint）、移动副（prismatic joint）、螺旋副（helical Joint or screw joint）、球副（spherical joint）、圆柱副（cylindric joint）、平面副（planar joint）、球销副（universal joint）等。常见运动副的类型及其代表符号如图

运动链（ kinematic chain）：两个或两个以七的构件通过运动副联接而组成的系统称为运动链。组成运动链的各构件构成肯末封闭系统的运动链称为闭链(closed-loop) ；反之为开链（ open-loop)。
机构（ mechanism ）：将运动链中的某－个构件或儿个加以固定，而让另一个或儿个构件拨给定运动规律相对阿定构件运动，如果运动链中其余轩活动构件都具有确定的相对运动，则此运动链称为机构。其巾的固定构件称作机架(base）。
约束（ constraint ） ： 当两构件通过运动副联接后，备向的运动都会受到不同程度的限制，这种限制就称为约束。
自由度（ Degree of Freedom ，简写DOF) ：确定机械系统的位形（configuration）或位姿（pose）所需要的独立变佳或广义坐标数。

根据运动功能划分： 有定位（ posi tioning ）机器人、调姿（ orienting ）机器人。传统意义上，前者通常称之为机械臂（ arm ），而后者通常称为机械腕(wrist) 像PUMA 机器人中，前3 个关节用于控制机械予的位罚（ position) ,而剩下的3 个关节用于控制机械子的姿态（ orientation）。机器人末端的位置与姿态共同构成了机器人的位形空间（ configuration space）。

机器人机构学的主要研究内容

机构学领域主要针对兰个核心问题展开研究，即机构的构型原理与新机构的发明创造，机构运动学与动力学分析、根据运动学与动力学性能评价设计机构

性能评价指标应具有明确的物理意义，可以用数学方程来描述，具有可计算性，最好可以用一个数字来表示大小，如丁．作空间（ workspace）、奇异性（ singularity ）、解耦性(decouple）、各向同性（ isotropy ） 、速度（ velocity）、承载能力（ payload capability）、刚度（ stiffness ）、精度（ accuracy ）等。

机构学和机器人机械学的研究主要由结构学、运动学、动力学三大部分组成。

机构学与机器人学研究的数学方法

李群、李代数

19 世纪末， Sophus Lie 为了把群的一些思想应用到微分方程的对称性中去，引进了李群的概念。Lie 的同事Klein 用它来描绘几何，研究特定空间对称运算下的不变应问题，用以分析射影空间变换的群的特征（射影空间几何）。

任何刚体变换是由旋转、平移组成，刚体变换可以表示成4 × 4的矩阵：

A=[R0p1]

其中 R 是3X3 的旋转矩阵，而 p 是一个平移向量。旋转矩阵 R3×3 满足 RTR=I ， det(R)=1 ，被定义为旋转群 SO(3) （特殊正交群）；一般刚体变换群被定义为特殊的欧几电德群（ special Euclidian group），表示为 SE(3) 。它是绕着原点的旋转 SO(3) 和平移变换 P3 的半直积 SE(3)=SO(3)⊗P3 。李群的子空间是李子群，可以说旋转变换 SO(3) 和平移变换 T(3) 都是 SE(3) 的李子群。

李代数可以看作是李群在其单位元素上的切向量空间，在刚体运动中李代数的元素对应广义速度。

1983 年Brocket 最先将李群与李代数中的指数映射引人到机器人中来．建立了机器人的指数建模方法，即通常所说的指数积公式（POE） 。

旋量理论

旋量理论起源于19 世纪， Chasles 证明任何物体从一个位姿到另一个位姿的运动都可以用绕某在线的转动和沿该直线的移动经过复合实现。通常将这种复合运动称为螺旋运动（screw motion ） ， 而螺旋运动的无穷小量即为运动旋量。另一方面， Poinsot 发现作用在刚体上的任何力系都可以合成为一个沿某直线的集中力和绕该直线的力矩，这一广义力即为力旋量。这些都成为了旋量理论的起源。19 世纪末，英国剑桥大学的R S. Ball 教授第一个对旋量 理论进行了系统全面的研究，指出运动旋量 与力旋量之间存在着最重要的对偶（ reciprocal ）关系，并讨论了所有旋量线性组合的一般模式及其在运动学上与刚体的一阶速度间的关系。

旋量理论是空间机构学研究中一种非常重要的数学工具。一个旋量由2 个三维矢量组成，可以同时表示矢量的方向和位置，如刚体运动中的速度和角速度，力和力矩等。因此，在分析复杂的空间机构时，运用旋量理论可以把问题的描述和解决变得十分简洁统一，而且易于和其他方法如矢量法、矩阵法等相互转换。

旋量的定义：旋量是一个具有大小和节距的直线。可以将其想象为一个机械螺旋，节距想象为螺距，直线为轴线。

旋量有三种表征形式：对偶矢量、Plucker 坐标和李代数。每种表征都各有所长，但同时又殊途同归。

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1. 《机器人机构学的数学基础》，于靖军等人著。 ↩
2. 机器人一词本身是1920 年由捷克斯洛伐克作家卡佩克（ Capek）在他的科幻小说《罗萨姆的万能机器人》巾首先提出来的。在这本小说中，他构思了一个名叫Robot 的机器人，它能够不知疲劳地进行工作。 ↩