einsum的本质理解

einsum是numpy和pytorch中一个计算快速灵活的矩阵操作函数，看了网上很多文章解释这个操作，都没有阐述到它的本质，那么多种情况总不能都背记下来吧，终于今天看到一个本质解释，记录下来以后备用。原文地址（似乎也不是原创）：
https://www.jianshu.com/p/27350d110caf
本质就是下面这个图，einsum操作符就是下面这个嵌套循环的关键参数的简记：

具体解释：
（1）einsum操作符的’ -> ‘左边是输入，右边是输出。输入可以1到N个，用’ , ‘分隔各个输入变量，输出只能一个。每个变量的字母表示对应的维度。字母数量必须和维度数量一致，否则报错。
（2）首先根据输出维度决定最外面的for循环的嵌套，比如上面输出C有两个维度i,j，就是两层循环嵌套。
（3）然后在输出侧消失的维度标记字母则表示发生了相加聚合，因此需要在里层循环。
（4）循环的最底层则是对应输入变量的对应元素的相乘，如上面的A[i,k] * B[k,j]
(5)还需要补充说的就是’ -> ‘省略时表示：输出矩阵时按照所有输入的字母去掉重复字母后按字母表顺序排列。比如’ik,kj’表示的是’ik,kj -> ij’。可见这个操作符真是把字符压缩到了极致，能省则省，其他我认为没有必要为了省这几个字符加大了理解难度。

上述解释可以帮助我们理解任何einsum操作符，但是具体应用时我们更需要掌握构造符合要求的操作符，我认为可按如下步骤构造：
（1）首先把输出变量的维度写到’->'右边，
（2）然后观察输入变量的哪些维度发生了相加聚合，发生相加聚合的轴要用输出没有的字母表示
（3）然后观察哪些输入变量间的维度轴需要同步操作，通常是具有同样物理含义的轴，它们用同一个字母表示，
（4）最后再核验一下。