量子退火算法入门（3）：整数分割问题的QUBO建模

整数分割问题：

QUBO建模最重要的就是，把建模对象中的变量映射为binary（0/1 或者 -1/+1）的变量。我先从简单的问题开始说明，让大家有些直观感受。整数分割问题就是一个非常简单，并容易理解的例子。此文参考了日本NTT公司的量子计算指南文档[*1]。

• 整数分割问题定义：

判断能否将一个N 个整数 $a_1,・・・a_N$ 的整数集合分割成两个子集合，并且这两个子集合里的元素之和相等。

• 例子：
  
  我们可以看到，上面的例子，分割后的两个子集合A和B的元素之和都等于6，所以该集合是可以满足整数分割的。

转化为组合优化问题：

之前讲的QUBO的例子里，用的变量都是0或1。其实，还可以是-1或+1，这时候也叫ising模型。求解变量什么时候用0/1，什么用-1/+1，这个之后用例子给大家解释。
这次的问题，是把求解的两个子集合的标签作为-1/+1的变量。如下图所示。

我们的优化目标就成为了，最小化两个子集合的差值的平方和。大家可以思考一下，如果使用0/1作为子集合A和B的标签，我们要怎么定义最小化的目标函数。

• 目标集合为{ 1, 5, 6 }时的目标函数就是：
  
  我们来枚举一下，所有 $x_i$ 从-1或+1取值的组合结果：
  
  我们可以看到，目标函数值为0时，我们得到了正确的整数分割结果。

目标函数转化为QUBO：

因为已经获得了目标函数，那我们先把多项式展开就好了。展开结果如下图所示：

因为【$x_i$ 从-1或+1取值】这个设定，下面的式子是成立的：
$$・x_i^2=1$$
所以我们可以得到下面的QUBO结果：

最后献上Python代码。

PyQUBO实现Ising模型：

之前的目标函数都是展开后的二次多项式，大家可以直接计算出QUBO矩阵。这次使用PyQUBO直接定义目标函数，大家就不用手动求解QUBO矩阵了。

import pyqubo
import neal
x = pyqubo.Array.create('x', shape=(3), vartype='SPIN') # 'SPIN' 就表示目标变量是从{-1, 1}取值。目标变量需要从{0, 1}中取值时，就设定为 'BINARY' 

objective_function = (1 * x[0] + 5 * x[1] + 6 * x[2]) ** 2

model = objective_function.compile() 
bqm = model.to_bqm()

print("我们可以将bqm转为ising或qubo输出")
print(bqm.to_ising())

sa = neal.SimulatedAnnealingSampler()
sampleset = sa.sample(bqm, num_reads=10)
samples = model.decode_sampleset(sampleset)
best_sample = min(samples, key=lambda s: s.energy)

print("求解时，pyqubo内部已经将ising模型转换为qubo的0或1，所以输出结果为0或1")
print(best_sample.sample) 

运行结果如下：

我们可以将bqm转为ising或qubo输出
({'x[2]': 0.0, 'x[0]': 0.0, 'x[1]': 0.0}, {('x[0]', 'x[2]'): 12.0, ('x[1]', 'x[2]'): 60.0, ('x[1]', 'x[0]'): 10.0}, 62.0)
求解时，pyqubo内部已经将ising模型转换为qubo的0或1，所以输出结果为0或1
{'x[2]': 1, 'x[0]': 0, 'x[1]': 0}

以上就是一个简单建模的例子。下篇讲旅行商问题的建模。

• 参考文献：[*1] : https://www.nttdata.com/jp/ja/-/media/nttdatajapan/files/news/services_info/2021/012800/012800-01.pdf