量子退火算法入门（6）：初识量子退火算法的发明过程

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一、量子计算机

提示：量子退火机的发展简史（参考NTT量子计算指南）：

量子计算机就是使用量子bit实现的计算机。之前提到过，可以分为两类，量子门(gate)方式和量子退火(annealing)方式。量子门方式的实现和现代计算机的电子逻辑门很像，比较容易理解，但是需要自己设计逻辑电路，现在开发的算法太少了，而且量子bit容易收到周围环境的影响，噪音比较多。

量子退火方式的话，只能用来解决组合优化问题，但是用户只需要设计QUBO就可以黑盒操作。但是要理解QUBO真正的硬件计算逻辑，还是需要一些物理知识的，本篇就讲一下需要的物理知识。

下面是NTT公司的量子计算指南总结的各种流派。

这个分类我觉得，量子退火机其实还是应该属于Ising machine的。因为，量子退火机解决的还是寻找Ising model的ground state的问题。当然这个分类也不是很重要，大家只要理清楚量子退火方式和Ising model的关系就好了。

用来解决组合优化问题的特殊机器，除了基于激光实现的CIM，还有以下几个：

• 基于一种叫空间光学伊辛机的特殊硬件
• 基于现代计算机电路进行物理模拟的算法（Simulated CIM，Hopfield-Tank，STATICA，Restricted Boltzmann machine）

使用量子退火机解决组合优化问题的步骤如下图所示：

二、模拟退火算法

想理清楚量子退火的物理模型的物理机制，我们要先理解模拟退火算法的原理。

纵轴$H$代表需要最小化的Hamilton量，$Si$代表求解的binary变量，所以$Si$应该是不连续的，函数曲线不应该是一个平滑的曲线，这里为了方便说明，大家不要误解。

Si模拟退火算法中，有一个和物理温度成反比的参数$\beta$。算法运行时，越过山峰的概率和下面的式子成比例。

所以，以下温度的变化过程，也被称作热涨落。

• 温度越高，参数$\beta$越小，上面的式子的值越大，越过山峰的概率越高；

• 温度降到足够低时，越过山峰的概率就很低了，算法就找到一个谷底的最优解。

这里有一个设定，非常重要：

• 温度必须降低得足够慢，降低得足够慢，降低得足够慢，模拟退火才可以可靠地获得最优解，但如果温度降低得太快，则可能会陷入局部解中。

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三、量子退火算法的物理基础

提示：第二章参考了此文：https://qiita.com/Kashalpha/items/9337c4f9fe4fbbb636fe

1. 量子涨落替换热涨落，提出量子退火算法

1998年在东京工业大学的門脇正史（当时在读博士课程）和西森秀稔教授（当时的指导教授）提出了使用基于薛定谔动力学的 Ising 模型作为问题哈密顿量和横向磁场作为量子涨落（fluctuation）项，来替代模拟退火中的热涨落，从而提出量子退火算法。这个研究，只是理论上的探索，当时没有太多人关注。

Tadashi Kadowaki and Hidetoshi Nishimori, "Quantum annealing in the transverse Ising model." Phys. Rev. E 58, 5355 (1998), arXiv:9804280

1994年发表的下面论文里就出现过Quantum annealing的提法。

A. B. Finnila, et al. "Quantum annealing: a new method for minimizing multidimensional functions." Chemical physics letters 219, 5 (1994)

其实，在門脇和西森之前，利用量子隧穿效应来寻找自旋玻璃模型本身的最小能态的想法，已经在下文里提出了。

P. Ray, B. K. Chakrabarti, and Arunava Chakrabarti, "Sherrington-Kirkpatrick model in a transverse field: Absence of replica symmetry breaking due to quantum fluctuations." Phys. Rev. B 39 11828

下图代表，量子退火算法有趣的地方时，$m$个状态，不是独自寻找最优解，它们直接互相干涉，同时去寻找最优解。

量子退火算法中，有一个和模拟退火算法中的物理温度概念相似的概念，叫横向磁场强度。

• 横向磁场强度越弱，相邻$Si$就会偏向于朝着不同方向，系统能量就越高，各个$Si$就各自寻找自己的局部解。
• 横向磁场强度越强，相邻$Si$就会偏向于朝着相同方向，系统能量就越低，就越容易找到最优解。

和模拟退火算法类似，如果横向磁场强度下降太快，量子退火算法也会找不到最优解。

2. 绝热量子演化解决横向磁场强度缓慢变化

绝热量子计算（AQC：adiabatic quantum computation）是由 Edward Farhi 等人在 2000 年提出的。然而，此时并没有证明通用量子计算是可能的，所做工作与解决组合优化问题的量子退火研究几乎相同。新颖之处在于，作为量子算法提出（和模拟退火无关）和使用绝热定理分析。相关论文如下：

E. Farhi, et al. "Quantum computation by adiabatic evolution." arXiv preprint quant-ph/0001106 (2000)
E. Farhi, et al. "A quantum adiabatic evolution algorithm applied to random instances of an NP-complete problem." Science 292, 5516 (2001), arXiv:quant-ph/0104129

绝热量子计算和量子退火的关系可以总结为：

• 绝热量子计算，解决了量子退火算法中的横向磁场强度缓慢变化问题。

3. D-Wave Systems公司实现物理量子退火机

在 2010 年左右，根据的門脇和西森的理论设计，以及Edward Farhi 等人提出绝热量子演化算法，D-Wave Systems Inc. 基于超导量子bit制造出了第一台量子退火机。细节论文，如下：

M. B. Hastings, "The Power of Adiabatic Quantum Computation with No Sign Problem" arXiv:2005.03791

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总结

该篇总结了量子退火算法的提出过程，以及相关原理。很多细节还没有讲透，后续会把量子退火算法的公式和绝热量子演化的公式讲清楚。