目录
- 一、python 矩阵操作
- 二、python 矩阵乘法
- 三、python 矩阵转置
- 四、python 求方阵的迹
- 五、python 方阵的行列式计算方法
- 六、python 求逆矩阵 / 伴随矩阵
- 七、python 解多元一次方程
本文内容：使用 jupyter 编写 python 代码对矩阵进行基本运算。
一、python 矩阵操作
- 先引入 numpy ，以后的教程中，我们都引用 np 作为简写。
- 使用 mat 函数创建一个 2×3 矩阵。
#引入numpy
import numpy as np
#使用mat函数创建一个2×3矩阵
a=np.mat([[1,2,3],[4,5,6]])
a
#使用shape可以获取矩阵的大小
a.shape
#使用下标读取矩阵中的元素
a.T
#进行行列转换
a.transpose()
a.T
- 实际上官方文档建议我们使用二维数组代替矩阵来进行矩阵运算；因为二维数组用得较多，而且基本可取代矩阵。
#用二维数组代替矩阵
b=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
b
b.T
#加减法
a+a
b+b
#列表不能尽兴加减
c=[[1,2,3],[4,5,6]]
c+c
二、python 矩阵乘法
#使用二维数组创建两个矩阵A和B
A=np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
B=A.T
A
B
- 先来一个矩阵的数乘，其实是矩阵的每一个元素乘以该数。
#矩阵每个元素乘以该数
2*A
2*B
- dot 函数用于矩阵乘法，对于二维数组，它计算的是矩阵乘积，对于一维数组，它计算的是内积。
A*B
np.dot(A,B)
np.dot(B,A)
#创建一个二维数组
C=np.array([[1,2],[1,3]])
C
- 我们验证一个矩阵乘法的结合性：(AB)C=A(BC)。
#验证矩阵乘法的结合性 (AB)C=A(BC)
np.dot(np.dot(A,B),C)
np.dot(A,np.dot(B,C))
- 接着看一下对加法的分配性：(A+B)C=AC+BC、C(A+B)=CA+CB。
#验证加法的分配性 (A+B)C=AC+BC C(A+B)=CA+CB
D=B-1
D
np.dot(A,B+D)
np.dot(A,B)+np.dot(A,D)
#验证数乘的结合性
2*(np.dot(A,B))
np.dot(A,2*B)
np.dot(2*A,B)
np.dot(A,2*B)
- 接着我们用到一个新知识，使用 eye 创建一个单位矩阵。
#使用 eye 创建一个单位矩阵
I=np.eye(3)
I
#矩阵 A 乘以一个单位矩阵
np.dot(A,I)
三、python 矩阵转置
A
A.T
A.T.T
B
D
- 验证矩阵转置的第二个性质：(A±B)’=A’±B’。
(B+D).T
B.T+D.T
10*A.T
(10*A).T
- 验证矩阵转置的第四个性质：(A×B)’=B’×A’
np.dot(A.T,B.T)
np.dot(B.T,A.T)
四、python 求方阵的迹
- 方阵的迹就是主对角元素之和。
- 创建一个方阵（行数等于列数的矩阵）。
E=np.array([[1,2,3],[4,5,6],[7,8,9]])
E
np.trace(E)
F=E-2
F
np.trace(E)
np.trace(E.T)
np.trace(np.dot(E,F))
np.trace(np.dot(F,E))
np.trace(E+F)
np.trace(E)+np.trace(F)
五、python 方阵的行列式计算方法
- 如何计算方阵的行列式，用到的是 numpy 模块的 linalg.det 方法。
- 行列式计算方法：
- 创建两个方阵（上面已经创建过了）。
E
F
- 使用 det 方法求得方阵 E 和方阵 F 的行列式。
np.linalg.det(E)
np.linalg.det(F)
C
np.linalg.det(C)
六、python 求逆矩阵 / 伴随矩阵
- 设 A 是数域上的一个 n 阶方阵，若在相同数域上存在另一个 n 阶矩阵 B，使得：AB=BA=E，则我们称 B 是 A 的逆矩阵，而 A 则被称为可逆矩阵，当矩阵 A 的行列式 |A| 不等于 0 时才存在可逆矩阵。
- 创建一个方阵。
A=np.array([[1,-2,1],[0,2,-1],[1,1,-2]])
A
A_abs=np.linalg.det(A)
A_abs
- 使用 linalg.inv 求得方阵 A 的逆矩阵。
B=np.linalg.inv(A)
B
- 接着我们利用公式： A − 1 = A ′ ′ / ∣ A ∣ A^{-1}=A''/|A| A−1=A′′/∣A∣ ——> A ′ ′ = A − 1 ∣ A ∣ A''=A^{-1}|A| A′′=A−1∣A∣ 来计算。
A_bansui=B*A_abs
A_bansui
七、python 解多元一次方程
- 用 python 的 numpy 包中的 linalg.solve() 方法解多元一次方程。
- 首先看一下我们要解的方程，将这个方程格式调整好，按照 x-y-z-常数项的顺序排列：
x + 2 y + z = 7 2 x − y + 3 z = 7 3 x + y + 2 z = 18 x+2y+z=7\\ 2x-y+3z=7\\ 3x+y+2z=18 x+2y+z=72x−y+3z=73x+y+2z=18
- 将未知数的系数写下来，排列成一个矩阵 a ，如下：
a=[[1,2,1],[2,-1,3],[3,1,2]]
a=np.array(a)
a
b=[7,7,18]
b=np.array(b)
b
- 使用linalg.solve 方法解方程，参数 a 指的是系数矩阵，参数 b 指的是常数项矩阵。
x=np.linalg.solve(a,b)
x
- 使用点乘的方法可以验证一下，系数乘以未知数可以得到常数项。
np.dot(a,x)
