洛谷 1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB 题解

题意简述

求

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}lcm(i,j)$

(其中$n,m<=1e7$)

数据

输入
4 5
输出
122

思路

一看就知道是反演。。。
来推式子吧！
令$g=gcd(i,j)$,$n<=m$
原式
$$\begin{gathered} =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\frac{ij}{g} \\ 这个就是化了一下lcm(i,j) \\ =\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m[g==d]\frac{ij}{d} \\ 这个就是提前枚举gcd(i,j),然后后面找哪些会算到 \\ =\sum _{d=1}^n\sum _{id=d}^n\sum _{jd=d}^m[g==1]\frac{id\ast jd}{d} \\ =\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^{n/d}\sum _{j=1}^{m/d}[g==1]ijd \\ i,j换成枚举d的几倍，注意换成枚举倍数后i变成id，j变成jd，所以多乘一个d^2，原来是\frac{ij}{d}，变成ijd \\ =\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^{n/d}\sum _{j=1}^{m/d}\sum _{q|g}\mu (q)ijd \\ 把[g==1]换成了ϵ(g)，然后用了一下反演式 \\ =\sum _{d=1}^n\sum _{q=1}^{n/d}\sum _{i=1}^{n/d}\sum _{j=1}^{m/d}[q|g]\mu (q)ijd \\ 提前枚举q,看后面有哪些算到的 \\ =\sum _{d=1}^n\sum _{q=1}^{n/d}\sum _{iq=1}^{n/d}\sum _{jq=1}^{m/d}[1|g]\mu (q)iq\ast jq\ast d \\ i,j有变成了枚举q的倍数，注意i变成iq，j变成jq，所以多乘一个q^2 \\ =\sum _{d=1}^n\sum _{q=1}^{n/d}\sum _{i=1}^{n/dq}\sum _{j=1}^{m/dq}\mu (q)ij{q}^{2}d \\ 稍作整理，去掉了没什么用的[1|g]（因为不管g多少这个都成立） \\ =\sum _{d=1}^{n}d\sum _{q=1}^{n/d}{q}^2\mu (q)\sum _{i=1}^{n/dq}i\sum _{j=1}^{m/dq}j \\ 进一步的整理，把无关的提到最前 \end{gathered}$$
然后现在我们会发现，什么都好算了：

1. 最后面那两个$sigma$：就是等差数列求和，设$sum(n,m)=(\sum _{i=1}^{n}i)(\sum _{j=1}^{m}j)$，显然根据搞死求和公式，它$=(\frac{n(n+1)}{2})(\frac{m(m+1)}{2})$。后面两个$sigma$就变成了$sum(n/dq,m/dq)$，就珂以$O(1)$求了。
2. 如果能求出$\mu (q)$的所有值，那么$q^2\mu (q)$的所有值也能求，同时也就能求$q^2\mu (q)$的前缀和。那么$\sum _{q=1}^{n/d}{q}^2\mu (q)\sum _{i=1}^{n/dq}i\sum _{j=1}^{m/dq}j=\sum _{q=1}^{n/d}{q}^2\mu (q)s(n/dq,m/dq)$就珂以整除分块了，设其为$f(n/d,m/d)$
3. 设了不少函数！现在原式变为$\sum _{d=1}^{n}df(n/d,m/d)$，这个整除分块太${}^{tm}$明显了吧！

计算一下时间复杂度。一次$f(n/d,m/d)$最坏是$f(n,m)$，也就是$O(\sqrt{n})$。
外层在套一层整除分块，也就是$O(\sqrt{n})$。
两层一乘，$O(n)$过了。
（而实际上并不是准确的$O(n)$，稍微要小一点，应该是$O(\sum _{i=1}^{\sqrt{n}}\sqrt{n/i})$，反正小于$O(n)$就是了。$O(n)$是能过的，我们的代码当然珂以过）
代码:

#include
using namespace std;
#define int long long

#define mod 20101009
#define N 10000010
namespace Flandle_Scarlet
{
    int mu[N],primes[N];
    bool notp[N];
    int d2mu[N];
    //d2mu[i]=i*i*μ(i)的前缀和
    

    void Init()
    {
        mu[1]=notp[1]=1;
        int n=10000000;
        int &cnt=primes[0];
        for(int i=2;i<=n;++i)//线性筛mu
        {
            if (!notp[i])
            {
                primes[++cnt]=i;
                mu[i]=-1;
            }
            for(int j=1;j<=cnt and i*primes[j]<=n;++j)
            {
                int u=primes[j];
                notp[i*u]=1;
                if (i%u==0)
                {
                    mu[i*u]=0;
                    break;
                }
                else
                {
                    mu[i*u]=-mu[i];
                }
            }
        }

        for(int i=1;i<=n;++i)
        {
            d2mu[i]=(d2mu[i-1]+i*i%mod*(mu[i]+mod))%mod;
            //这个式子十分显然，但是注意取膜时的优先级
        }
    }

    int sum(int n,int m)
    //也就是上面说的sum
    //但是一定要注意优先级！！！我错了好多次！！！
    {
        return ((n*(n+1)/2)%mod*(m*(m+1)/2)%mod)%mod;
    }
    int f(int n,int m)
    //也就是上面说的f
    {
        int ans=0;
        for(int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1)
        {
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            //d2mu[r]-d2mu[l-1]计算中间和
            //sum(n/l,m/l)是相同部分
            ans=(ans+(d2mu[r]-d2mu[l-1]+mod)*sum(n/l,m/l)%mod)%mod;
        }
        return ans;
    }
    int calc(int n,int m)
    //主求解函数
    {
        int ans=0;
        for(int l=1,r;l<=min(n,m);l=r+1)
        {
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));
            //这个太显然了。。。不想解释
            ans=(ans+(r-l+1)*(l+r)/2%mod*f(n/l,m/l)%mod)%mod;
        }
        return ans;
    }

    int n,m;
    void Main()
    {
        Init();
        scanf("%lld%lld",&n,&m);
        printf("%lld\n",calc(n,m));
    }
};
main()
{
    Flandle_Scarlet::Main();
    return 0;
}