洛谷P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB（包括多组数据）

洛谷P1829 [国家集训队]Crash的数字表格 / JZPTAB

加强版：题面不变，包含多组数据，数据组数为$T$，$1\le T\le 10^4$

题目大意

给出$n,m$，求$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{m}lcm(i,j)$。有$T$组数据，$1\le T\le 10^4$。

题解

前置知识：莫比乌斯反演

不妨设$n\le m$。

题意即求

$\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\frac{i\times j}{\gcd (i,j)}$

枚举$\gcd$得

$\sum _{d=1}^n\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^m\frac{i\times j}{d}[\gcd (i,j)=d]$

稍作转换可得

$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }i\times j\times [\gcd (i,j)=1]$

利用莫比乌斯函数的性质，可得

$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{d}\rfloor }i\times j\sum _{k|\gcd (i,j)}\mu (t)$

枚举$k$得

$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{k}^2\times \mu (k)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{kd}\rfloor }i\times j$

$\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor }\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{m}{kd}\rfloor }i\times j$可变为$\frac{\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor \times (\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor +1)}{2}\times \frac{\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor \times (\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor +1)}{2}$。设$gt(k)=\frac{k\times (k+1)}{2}$，则原式变为

$\sum _{d=1}^{n}d\sum _{k=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }{k}^2\times \mu (k)\times gt(\lfloor \frac{n}{kd}\rfloor )\times gt(\lfloor \frac{m}{kd}\rfloor )$

令$T=kd$，枚举$T$，可得

$\sum _{T=1}^{n}gt(\lfloor \frac{n}{T}\rfloor )\times gt(\lfloor \frac{m}{T}\rfloor )\sum _{k|T}\frac{T}{k}\times k^2\times \mu (k)$

整理可得

$\sum _{T=1}^{n}gt(\lfloor \frac{n}{T}\rfloor )\times gt(\lfloor \frac{m}{T}\rfloor )\times T\sum _{k|T}k\times \mu (k)$

现在的问题在于如何快速求出$\sum _{k|T}k\times \mu (k)$。设$f(d)=\sum _{k|d}k\times \mu (k)$，我们发现$f(d)$是一个积性函数，可以$O(n)$预处理出。

将$gt(k)$和$f(d)$用$O(n)$预处理出，每次询问用数论分块只需$O(\sqrt{n})$，所以总时间复杂度为$O(n+T\sqrt{n})$。

注：下面代码是有多组数据的，在洛谷上交时要去掉。

code

#include
using namespace std;
const int N=10000000;
const long long mod=20101009;
int t,n,m,z[N+5],p[N+5];
long long ans,f[N+5];
long long gt(int t){
	return 1ll*t*(t+1)/2%mod;
}
int main()
{
	f[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!z[i]){
			p[++p[0]]=i;f[i]=(1-i+mod)%mod;
		}
		for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N;j++){
			z[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				f[i*p[j]]=f[i];
				break;
			}
			f[i*p[j]]=f[i]*f[p[j]]%mod;
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++){
		f[i]=(f[i-1]+i*f[i]%mod)%mod;
	}
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		ans=0;
		if(n>m) swap(n,m);
		for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
			r=min(n/(n/l),m/(m/l));
			ans=(ans+(f[r]-f[l-1]+mod)%mod*gt(n/l)%mod*gt(m/l)%mod)%mod;
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}