洛谷P4213 【模板】杜教筛

前置知识：杜教筛

洛谷P4213 【模板】杜教筛

求$\sum _{i=1}^n\varphi (i)$和$\sum _{i=1}^n\mu (i)$，其中$1\le n\le 10^9$。

先求$\sum _{i=1}^n\varphi (i)$，我们知道$\varphi \ast I=Id$

$Id(n)=\sum _{d|n}\varphi (d)\times I(\frac{n}{d})=\varphi (n)+\sum _{d|n,d>1}I(d)\times \varphi (\frac{n}{d})$

分别求前缀和，得

$\frac{n(n+1)}{2}=\sum _{i=1}^n\varphi (i)+\sum _{i=1}^n\sum _{d|i,d>1}I(d)\times \varphi (\frac{i}{d})$

$\sum _{i=1}^n\varphi (i)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum _{d=2}^{n}I(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\varphi (i)$

设$f(n)=\sum _{i=1}^n\varphi (i)$，则上式变为

$f(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum _{i=2}^{n}I(d)\times f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$

预处理出前$n^{\frac{2}{3}}$个$f$值，则时间复杂度为$O(n^{\frac{2}{3}})$。

再来求$\sum _{i=1}^n\mu (i)$，我们知道$\mu \ast I=ϵ$

$ϵ(n)=\sum _{d|n}\mu (d)\times I(\frac{n}{d})=\mu (n)\times I(1)+\sum _{d|n,d<n}\mu (d)\times I(\frac{n}{d})$

分别求前缀和，得

$1=\sum _{i=1}^n\mu (i)+\sum _{i=1}^n\sum _{d|i,d>1}I(d)\times \mu (\frac{i}{d})=f(n)+\sum _{d=2}^{n}I(d)\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\mu (i)$

设$f(n)=\sum _{i=1}^n\mu (i)$，则

$1=f(n)+\sum _{d=2}^{n}I(d)\times f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$

$f(n)=1-\sum _{d=2}^{n}I(d)\times f(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$

同样可以用$O(n^{\frac{2}{3}})$的时间复杂度解决。

code

#include
using namespace std;
const int N=5000000;
int z[N+5],p[N+5],mu[N+5];
long long ph[N+5],sph[N+5],smu[N+5];
map<long long,long long>mph,mmu;
void init(){
	mu[1]=ph[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!z[i]){
			p[++p[0]]=i;mu[i]=-1;ph[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N;j++){
			z[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				mu[i*p[j]]=0;
				ph[i*p[j]]=ph[i]*p[j];
				break;
			}
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
			ph[i*p[j]]=ph[i]*(p[j]-1);
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++){
		sph[i]=sph[i-1]+ph[i];
		smu[i]=smu[i-1]+mu[i];
	}
}
long long gt1(int t){
	if(t<=N) return sph[t];
	if(mph.count(t)) return mph[t];
	long long re=0;
	for(int l=2,r;l<=t;l=r+1){
		if(t/l==1) r=t;
		else r=t/(t/l);
		re+=gt1(t/l)*(r-l+1);
		if(r==t) break;
	}
	return mph[t]=t*(t+1ll)/2-re;
}
long long gt2(int t){
	if(t<=N) return smu[t];
	if(mmu.count(t)) return mmu[t];
	long long re=0;
	for(int l=2,r;l<=t;l=r+1){
		if(t/l==1) r=t;
		else r=t/(t/l);
		re+=gt2(t/l)*(r-l+1);
		if(r==t) break;
	}
	return mmu[t]=1-re;
}
int main()
{
	int t,n;
	init();
	scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d",&n);
		printf("%lld %lld\n",gt1(n),gt2(n));
	}
	return 0;
}