【BZOJ4916】神犇与蒟蒻

题目大意

很久很久以前，有一只神犇叫yzy;
很久很久之后，有一只蒟蒻叫lty;

输入一个整数$n$，$1\le n\le 10^9$
请你输出一个整数$A=\sum _{i=1}^n\mu (i^2)$
请你输出一个整数$B=\sum _{i=1}^n\varphi (i^2)$
$A,B$模$1e9+7$

题解

前置知识：杜教筛

对于$\sum _{i=1}^n\mu (i^2)$，我们知道当$i>1$时$\mu (i^2)=0$，所以$A$一定为$1$。

对于$\sum _{i=1}^n\varphi (i^2)$，我们可以注意到$\varphi (i^2)=i\varphi (i)$，为什么呢？

我们可以把$i$分成若干个质数的乘积，$i=p_1^{a_1}{p}_2^{a_2}\cdots p_k^{a_k}$，因为$\varphi (i)$是积性函数，所以

$\varphi (i)=\varphi (p_1^{a_1})\times \varphi (p_2^{a_2})\times \cdots \times \varphi (p_k^{a_k})=\prod _{i=1}^k(p_i-1)\times p_i^{a_1-1}$

$\varphi (i^2)=\varphi (p_1^{2a_1})\times \varphi (p_2^{2a_2})\times \cdots \times \varphi (p_k^{2a_k})=\prod _{i=1}^k(p_i-1)\times p_i^{2a_1-1}=(\prod _{i=1}^k{p}_i^{a_i})\times (\prod _{i=1}^k(p_i-1)\times p_i^{a_1-1})=i\times \varphi (i)$

由此可得$\varphi (i^2)=i\times \varphi (i)$

由狄利克雷卷积可得，$\varphi \ast I=Id$

所以$n=\sum _{d|n}\varphi (d)$

$n^2=n\sum _{d|n}\varphi (d)=\sum _{d|n}\varphi (d)\times d\times \frac{n}{d}=n\varphi (n)+\sum _{d|n,d<n}\varphi (d)\times d\times \frac{n}{d}$

$n\varphi (n)=n^2-\sum _{d|n,d<n}\varphi (d)\times d\times \frac{n}{d}$

设$f(d)=d\varphi (d)$

原式变为

$f(n)=n^2-\sum _{d|n,d<n}f(d)\times \frac{n}{d}$

分别求前缀和得

$\sum _{i=1}^{n}f(n)=\sum _{i=1}^n{i}^2-\sum _{i=1}^n\sum _{d|i,d<i}f(d)\times \frac{i}{d}$

$\sum _{i=1}^{n}f(n)=\sum _{i=1}^n{i}^2-\sum _{d=2}^{n}d\sum _{i=1}^{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }f(i)$

设$F(n)=\sum _{i=1}f(i)$，则

$F(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum _{d=2}^{n}dF(\lfloor \frac{n}{d}\rfloor )$

预处理出前$n^{\frac{2}{3}}$个$i\varphi (i)$，用杜教筛解决，时间复杂度为$O(n^{\frac{2}{3}})$。

code

#include
using namespace std;
const int N=2000000;
const long long mod=1000000007;
int z[N+5],p[N+5];
long long ny,ph[N+5],s[N+5];
map<long long,long long>mp;
long long mi(long long t,long long v){
	if(v==0) return 1;
	long long re=mi(t,v/2);
	re=re*re%mod;
	if(v&1) re=re*t%mod;
	return re;
}
void init(){
	ph[1]=1;
	for(int i=2;i<=N;i++){
		if(!z[i]){
			p[++p[0]]=i;
			ph[i]=i-1;
		}
		for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<=N;j++){
			z[i*p[j]]=1;
			if(i%p[j]==0){
				ph[i*p[j]]=ph[i]*p[j]%mod;
				break;
			}
			ph[i*p[j]]=ph[i]*(p[j]-1)%mod;
		}
	}
	for(int i=1;i<=N;i++){
		s[i]=(s[i-1]+ph[i]*i%mod)%mod;
	}
	ny=mi(6ll,mod-2);
}
long long djs(int t){
	if(t<=N) return s[t];
	if(mp.count(t)) return mp[t];
	long long re=0;
	for(int l=2,r;l<=t;l=r+1){
		r=t/(t/l);
		re=(re+1ll*(r-l+1)*(r+l)/2%mod*djs(t/l)%mod)%mod;
	}
	re=(1ll*t*(t+1)%mod*(2*t+1)%mod*ny%mod-re+mod)%mod;
	return mp[t]=re;
}
int main()
{
	int n;
	init();
	scanf("%d",&n);
	printf("1\n%lld",djs(n));
	return 0;
}