矩阵对矩阵求导，标量对矩阵求导，链式法则

$$Z\in R,Y_{m\ast n},X_{a\ast b}$$$$\frac{dZ}{dX}=\frac{dZ}{dY}\ast \frac{dY}{dX}$$
是错误的写法，因为维度不一致:
$$\begin{gathered} \frac{dZ}{dX}或\frac{dZ}{dY}是标量对矩阵求导，结果为a\ast b矩阵或m\ast n矩阵 \\ 而\frac{dY}{dX}是矩阵对矩阵求导，结果的雅克比矩阵为mn\ast pq \\ 显然\frac{dZ}{dY}与\frac{dY}{dX}维度不一致，正确写法是把所有矩阵列向量化 \\ \frac{dZ}{dvec(X{)}^T}=\frac{dZ}{dvec(Y{)}^T}\ast \frac{dvec(Y)}{dvec(X{)}^T} \\ \frac{dZ}{dvec(Y{)}^T}是1\ast mn向量,\frac{dvec(Y)}{dvec(X{)}^T}的雅克比矩阵是mn\ast ab，维度一致 \end{gathered}$$

另一种情况，都是矩阵
$$矩阵：Z_{p\ast q},Y_{m\ast n},X_{a\ast b}$$$$\frac{dZ}{dX}=\frac{dZ}{dY}\ast \frac{dY}{dX}$$
是正确的写法，因为维度一致
矩阵对矩阵求导的本质是向量对向量求导
$$\begin{gathered} \frac{dY}{dX}的雅克比矩阵为\frac{dvec(Y)}{dvec(X{)}^T}，梯度矩阵为\frac{dvec(Y{)}^T}{dvec(X)} \\ \frac{dZ}{dX}的梯度矩阵维度是ab\ast pq，雅克比矩阵维度是pq\ast ab \\ \frac{dZ}{dY}的梯度矩阵维度是mn\ast pq，雅克比矩阵维度是pq\ast mn \\ \frac{dY}{dX}的梯度矩阵维度是ab\ast mn，雅克比矩阵维度是mn\ast ab \end{gathered}$$
总结：
矩阵对矩阵求导的定义本身就已经列向量化，所以可以适用链式法则。
如果标量对矩阵求导、再对矩阵求导，就不可以直接使用链式法则，必须先把矩阵列向量化