最小二乘法推导

前言

        普通最小二乘法(ordinary least squares, OLS)是线性回归预测问题中一个很重要的概念,在 Introductory Econometrics A Modern Approach (Fourth Edition) 第2章 简单回归模型 中,花了很详细的篇幅对此作出介绍。应聘数据挖掘岗位,就有考到对普通最小二乘法的推导证明。最小二乘法十分有用,例如可以用来做推荐系统、资金流动预测等。

推导证明

(1) 公式推导

(2) 求和性质

        求和性质,具体可以参考Introductory Econometrics A Modern Approach (Fourth Edition) 一书(计量经济学导论,第4版,杰弗里·M·伍德里奇 著)的附录A。

(3) 一般形式

        有了上述推导证明,普通最小二乘法一般形式可以写成(字母盖小帽表示估计值,具体参考应用概率统计):

重要概念

        接下来简单地介绍几个重要概念,并在下一章节给出最小二乘法的无偏估计。

        记第i 次观测残差(residual)是yi 的实际值与其拟合值之差:

        

        其中SST=SSE+SSR。

        拟合优度,有时又称“判定系数”,回归的R2(R-squared),用来判断直线拟合效果:

        当R2 = 1时称为完美拟合,当R2 = 1时称为糟糕拟合,最理想的观测是,第i 次情况 残差u=0。

        事实上,R2不因y 或x 的单位变化而变化。

        零条件均值,指给定解释变量的任何值,误差的期望值为零。换言之,即 E(u|x)=0。

无偏估计

        我们追求零条件均值,得到OLS 估计量的无偏估计:

        其中,

        现在我们可以看到,β1 的估计量等于总体斜率β1 加上误差 { u1, u2, ..., un }的一个线性组合。

“线性”含义

        线性回归问题中,“线性”的含义是指被估计参数β1 和β2 是线性相关的,而不关心解释变量与被解释变量以何种形式出现,例如y = kx + b,log(y) = kx + b,log(y) = klog(x) + b,etc. 下面列举一些常用的曲线方程:

1、双曲线 1/y = a + b/x

令y'=1/y,x'=1/x,则有y'=a+bx'

2、幂函数曲线y=axb

令y'=lny,x'=lnx,a'=lna,则有y'=a'  +bx'

3、指数函数曲线y=aebx

令y'=lny,x'=x,a'=a,则有y'=a'+b  x'

4、负指数函数曲线y=aeb/x(同上)

5、对数函数y=a+blnx

令y'=y,x'=lnx,则有y'=a+bx'

6、S型(Logistic,逻辑斯蒂回归)曲线y=K/(1+Ae-λx)

令y'=ln((K-y)/y),a=lnA,则有y'=a-λx

多重线性回归

        多重回归研究的是变量y 与可控变量x1,x2,...,xk 之间的线性关系,假设

        根据线性代数,则有

        得到

        与普通最小二乘法推导证明相似,可以得到β 的最小二乘估计

        此处不作证明,具体可参考《应用概率统计 张国权 著》第九章 回归分析。

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