先验概率与后验概率

1.先验概率 (Prior Probability)

在贝叶斯统计推断中，先验概率是在收集新数据之前事件发生的概率。 这是在进行实验之前根据当前知识对结果可能性进行的最佳理性评估。

事件A发生的先验概率记作：$P(A)$

先验概率是事件还没有发生，根据以往的经验来判断事件发生的概率。
例子：扔一个硬币，在扔之前就知道正面向上的概率为0.5。这是根据我们之前的经验得到的。这个0.5就是先验概率。

2.后验概率 (Posterior Probability)

在贝叶斯统计中，后验概率是在考虑新信息之后事件发生的修正或更新概率。 后验概率通过使用贝叶斯定理更新先验概率来计算。 用统计术语来说，后验概率是假设事件B已经发生的情况下事件A发生的概率。

（贝叶斯定理公式）给定B发生的情况下，计算A发生后验概率的公式：

$$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A)\times P(B|A)}{P(B)}$$

A，B为事件。
P(B|A)是假设A为真，B发生的概率。
P(A)和P(B)是A和B相互独立发生的概率。

事件已经发生，有多种原因，判断事件的发生是由哪一种原因引起。

贝叶斯定理可用于许多应用，例如医学，金融和经济学。 在金融领域，一旦获得新的信息，贝叶斯定理就可以用来更新先前的信念。 先验概率表示在引入新证据之前最初的信念，而后验概率则将这些新信息考虑在内。

后验概率分布应该比先验概率更好地反映数据生成过程的基本事实，因为后验包含更多信息。 随着新信息的出现，后验概率可以随后成为新的更新后验概率的先验，并被纳入分析。

参考资源

[1] Prior Probability
[2] Posterior Probability Definition
[3] 如何理解先验概率与后验概率
[4] 先验概率和后验概率
[5] 先验概率
[6] 后验概率