泛函分析 05.03 共轭空间和共轭算子 - Hilbert空间的共轭空间,共轭算子

§5.3Hilbert空间的共轭空间,共轭算子 

我们注意到:L 2 空间的共轭空间是L 2 ,且L 2 是一个Hilbert空间. 
我们考虑: 
∙对于一般的Hilbert空间,相似的结论是否成立? 
在这一节中将通过Riesz表示定理说明: 
∙Hilbert空间H的共轭空间和H在等距同构的意义下相等. 

5.3.1Riesz表示定理 

定理5.3.1(Riesz表示定理) 
设H是一个Hilbert空间,f是H上的有界线性泛函, 
则存在唯一的y f ∈H,使得 
f(x)=(x,y f ),∀x∈H,(5.3.1) 
并且 
∥f∥=∥y f ∥(5.3.2) 
证明:如果f=0,取y f =0,则定理成立. 
假定f≠0,因为f连续,所以f的零空间 
M=N(f)={x∈H|f(x)=0} 
是H的真闭子空间,由正交分解定理,H=M⊕M ⊥ . 
由于M ⊥ ≠{0},所以存在x 0 ∈M ⊥ 且∥x 0 ∥=1. 
由于x 0 ∈M ⊥ ,f(x 0 )≠0,对于∀x∈H,令 
z=x−f(x)f(x 0 ) x 0 , 
显然f(z)=0,z∈M,(z,x 0 )=0,于是我们有分解 
x=z+f(x)f(x 0 ) x 0 (5.3.3) 
其中z∈M,x 0 ∈M ⊥ .在上式两边同时与x 0 作内积, 
有 
(x,x 0 )=(z,x 0 )+f(x)f(x 0 ) =f(x)f(x 0 ) , 
即 
f(x)=f(x 0 )(x,x 0 )=(x,f(x 0 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  x 0 ). 
令y f =f(x 0 ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  x 0 ,我们有 
f(x)=(x,y f ). 
唯一性,若∃g f ,使得对∀x∈H,f(x)=(x,g f ),则有 
(x,y f )=(x,g f ),∀x∈H, 
于是根据定理3.2.6推出g f −y f =0,即g f =y f . 
由于 
∥f∥=sup ∥x∥≤1 |f(x)|=sup ∥x∥≤1 |(x,y f )|≤∥y f ∥, 
且 
∥f∥=sup ∥x∥≤1 |f(x)|≥f(y f ∥y f ∥ )=(y f ∥y f ∥ ,y f )=∥y f ∥. 
所以∥f∥=∥y f ∥. 
注1：Riesz表示定理显示,Hilbert空间上的连续线性泛函 
有十分简单的表示. 
事实上,当H=R 3 , 
f(x)=ax 1 +bx 2 +cx 3 =n ⃗ ⋅x ⃗ (∀x∈R 3 )(5.3.4) 
其中x ⃗ =(x 1 ,x 2 ,x 3 ),n ⃗ =(a,b,c), 
即Riesz表示定理中的y f =n ⃗ ,它是平面f(x)=0的法向量. 
注2:从证明中可知,有线性泛函f的零空间N(f)的 
正交补集N(f) ⊥ 是一维的. 

5.3.2Hilbert空间的共轭空间 

∙由Riesz表示定理,任意的f∈H ∗ ,对应唯一的 
y f ∈H,使得f(x)=(x,y f ). 
∙另一方面,对于任意的y∈H,令 
f y (x)=(x,y),∀x∈H(5.3.5) 
显然f y 是H上的连续线性泛函,即f y ∈H ∗ . 
∙于是,我们定义了一个映射τ:H ∗ →H, 
τ(f)=y f ,∀f∈H ∗ ,(5.3.6) 
τ是H ∗ 到H的一一对应的保范映射. 
∙τ不是线性的,但是共轭线性的,即 
τ(αf 1 +βf 2 )=α ¯ ¯  τ(f 1 )+β ¯ τ(f 2 )(5.3.7) 
∙在H ∗ 中规定内积 
(f 1 ,f 2 )=(y f 1  ,y f 2  ),∀f 1 ,f 2 ∈H ∗ (5.3.8) 
则H ∗ 是一个Hilbert空间, 
∙τ是两个Hilbert空间H ∗ →H的共轭同构映射. 

定理5.3.2设H是一个Hilbert空间,则H ∗ =H. 
即H ∗ 在共轭同构的意义下看成与H等同. 
∙换句话说,如果我们对共轭同构的Hilbert空间不加区别,则H ∗ =H, 
∙即Hilbert空间是自共轭的. 
▶由于赋予欧几里得距离的R n 空间、C n 空间都是 
Hilbert空间(见例3.1.2、例3.1.3),有下面的命题. 

命题5.3.3R n 空间、C n 空间都是自共轭的,即 
(R n ) ∗ =R n ,(C n ) ∗ =C n  
L 2 [a,b]空间,l 2 空间都是Hilbert空间(例3.1.15,见 
例3.1.16),于是 

命题5.3.4L 2 [a,b]空间、l 2 空间都是自共轭的,即 
(L 2 [a,b]) ∗ =L 2 [a,b],(l 2 ) ∗ =l 2  
(参阅定理5.2.2). 

5.3.3Hilbert空间上的共轭算子 

∙当H是Hilbert空间时,H是自共轭的. 
∙特别地R n 空间是自共轭的. 
∙从注1可知,R 3 空间上的线性泛函和一个R 3 中的向 
量一一对应,也就是(R 3 ) ∗ 和R 3 可看作是一个空间. 
▶在有限维空间R n ,我们可以定义算子(矩阵)A的共轭 
算子(共轭矩阵)A ∗ ,即A ∗ 应满足 
(Ax,y)=(x,A ∗ y),∀x,y∈R n  
▶类似于有限维空间,我们也可以定义Hilbert空间中有 
界线性算子A的共轭算子(用上面的Riesz表示定理), 
使得共轭算子的定义与有限维空间线性算子(矩阵)的共 
轭算子(共轭矩阵)的定义十分相似. 
▶下面我们在Hilbert空间H上定义共轭算子. 
设A∈B(H),目标:如何规定A ∗ . 
对于任意给定的y∈H,我们知道(Ax,y)是H上的一个 
有界线性泛函f A,y (f与A和y有关),且 
∥f A,y ∥≤∥A∥∥y∥, 
由Riesz表示定理，存在唯一的z∈H,使得 
(Ax,y)=f A,y (x)=(x,z),∀x∈H(5.3.9) 
定义By=z,它满足: 
(Ax,y)=(x,By),∀x,y∈H(5.3.10) 
这样定义的算子B是从H到H的算子,并且是线性的. 
事实上对于任意的y 1 ,y 2 ∈H,及α,β∈K, 
(x,B(αy 1 +βy 2 ))=(Ax,αy 1 +βy 2 ) 
=α ¯ (Ax,y 1 )+β ¯ (Ax,y 2 )=α ¯ (x,By 1 )+β ¯ (x,By 2 ) 
=(x,αBy 1 )+(x,βBy 2 )=(x,αBy 1 )+βBy 2 ). 
因此 
B(αy 1 +βy 2 )=αBy 1 +βBy 2 , 
即B是从H到H的线性算子. 
且由Riesz表示定理 
∥By∥=∥z∥=∥f A,y ∥≤∥A∥∥y∥, 
即由(5.3.10)式为异地确定了一个有界线性算子B. 

定义5.3.5设H是Hilbert空间,A∈B(H),我们 
把由(5.3.10)确定的有界线性算子B称为A的共轭算子, 
记为A ∗ ,即 
(Ax,y)=(x,A ∗ y),∀x,y∈H(5.3.11) 
注1：A ∗ 是从H到自身H的线性算子. 
注2：这个定义和有限维空间上线性算子(矩阵)的共轭算子 
(共轭矩阵)的定义形式完全一样. 
∙容易验证,Hilbert空间上的共轭算子满足 
I ∗ =I,0 ∗ =0. 
▶由共轭算子的定义(5.3.11)式,我们得到下面的定理: 

定理5.3.6设A、B是Hilbert空间H上的有界线性算子,则 
(1)共轭算子A ∗ 是有界线性算子,并且 
∥A ∗ ∥=∥A∥,进一步有(A ∗ ) ∗ =A; 
(2)(A+B) ∗ =A ∗ +B ∗ ; 
(3)(AB) ∗ =B ∗ A ∗ ; 
(4)对于常数α∈K,(αA) ∗ =α ¯ A ∗ ; 
(5)若A −1 存在且有界,则(A ∗ ) −1 也存在且有界,且 
(A ∗ ) −1 =(A −1 ) ∗ . 
证明:(1)因为对于∀x∈H, 
(x,A ∗ (α 1 y 1 +α 2 y 2 )) 
=(Ax,(α 1 y 1 +α 2 y 2 ))=α ¯  1 (Ax,y 1 )+α ¯  2 (Ax,y 2 ) 
=α ¯  1 (x,A ∗ y 1 )+α ¯  2 (x,A ∗ y 2 )=(x,α 1 A ∗ y 1 +α 2 A ∗ y 2 ), 
所以A ∗ 是线性算子,且 
∥A ∗ y∥ 2 =(A ∗ y,A ∗ y)=(A(A ∗ y),y) 
≤∥A(A ∗ y)∥∥y∥≤∥A∥∥A ∗ y∥∥y∥, 
于是有 
∥A ∗ y∥≤∥A∥∥y∥, 
即 
∥A ∗ ∥≤∥A∥(5.3.12) 
这说明A ∗ 有界. 
在(5.3.11)中用A ∗ 代替A,我们又可以定义A ∗ 的共 
轭算子(A ∗ ) ∗ =A ∗∗ ,即 
(A ∗ x,y)=(x,A ∗∗ y),∀x,y∈H, 
因此,对于任何的x,y∈H,有 
(x,Ay) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  =(Ay,x)=(y,A ∗ x)=(A ∗ x,y) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  =(x,A ∗∗ y) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯  . 
于是我们有 
(x,Ay)=(x,A ∗∗ y),∀x,y∈H 
即(A ∗ ) ∗ =A. 
在(5.3.12)式中用A ∗ 替换A有 
∥A∥=∥A ∗∗ ∥≤∥A ∗ ∥ 
因此∥A∥=∥A ∗ ∥. 
(2)−(4)容易验证. 
(5)由于 
A −1 A=AA −1 =I, 
根据(3) 
A ∗ (A −1 ) ∗ =(A −1 A) ∗ =I ∗ =I, 
(A −1 ) ∗ (A) ∗ =(AA −1 ) ∗ =I ∗ =I, 
即(A ∗ ) −1 存在,且(A ∗ ) −1 =(A −1 ) ∗ . 
注：十分重要的是:Hilbert空间H上的有界线性算子 
A和它的共轭算子A ∗ 是定义在同一个空间上的,即 
A,A ∗ ∈B(H). 

推论5.3.7 
∥A ∗ A∥=∥AA ∗ ∥=∥A∥ 2 =∥A ∗ ∥ 2 (5.3.13) 
证明:由于∥A ∗ A∥≤∥A ∗ ∥∥A∥=∥A∥ 2 =∥A ∗ ∥ 2 , 
同时 
∥Ax∥ 2 =(Ax,Ax)=(A ∗ Ax,x) 
≤∥A ∗ Ax∥∥x∥≤∥A