卡方分布与卡方检验

1.卡方分布

定义： 设$X_1,X_2,\dots ,X_n$相互独立，且都服从标准正态分布N(0,1),则称随机变量${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2$ 服从自由度为n的 ${\chi }^2$ 分布，记为${\chi }^2\sim {\chi }^2(n)$, 其概率密度函数如下所示：

2. 概率分布表

${\chi }^2$的概率分布表列出了给定自由度时，${\chi }^2$大于表中数值的概率；换句话说，给定自由度n，${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2$有（1-p)的概率小于表中数值。

3.卡方检验在ORB-SLAM中的应用

ORB-SLAM在计算重投影误差时，利用${\chi }^2$的概率分布表进行卡方检验，其中具体过程如下：

单目：

1. 定义单目重投影误差：
   $$\begin{array}{rl}& {\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}={\mathbf{u}}_{\mathbf{x}}-{\overline{\mathbf{u}}}_x\\ & {\mathbf{e}}_{\mathbf{y}}={\mathbf{u}}_{\mathbf{y}}-{\overline{\mathbf{u}}}_y\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
   其中：$\mathbf{u}$为特征点的2D坐标; $\overline{\mathbf{u}}$为地图点投影到图像上的2D坐标; 下标x、y为相关变量在x、y方向的分量。

2. 假设重投影误差${\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}$、${\mathbf{e}}_{\mathbf{y}}$相互独立且服从均值为0的高斯分布：
   $${\mathbf{e}}_x、{\mathbf{e}}_y\sim \mathcal{N}(0,\sigma )\text{\hspace{1em}(2)}$$
   其中标准差$\sigma$由特征点所在的金字塔层级确认，具体来说，若第0层的标准差为p个像素（ORB-SLAM中设定为1），每层金字塔的缩放系数为s,则第m层的金字塔的特征点标准差为：
   $$\sigma =s^m\ast p$$

3. 则${\overline{\mathbf{e}}}_{\mathbf{x}}$、${\overline{\mathbf{e}}}_{\mathbf{y}}$满足标准正态分布
   $$\begin{array}{rl}& {\overline{\mathbf{e}}}_{\mathbf{x}}=({\mathbf{e}}_{\mathbf{x}}-0)/\sigma \\ & {\overline{\mathbf{e}}}_{\mathbf{y}}=({\mathbf{e}}_{\mathbf{y}}-0)/\sigma \end{array}$$

4. 假设3D点和二维点正确关联，则其计算得到的${\chi }^2={\overline{\mathbf{e}}}_{\mathbf{x}}^2+{\overline{\mathbf{e}}}_{\mathbf{y}}^2$，应满足自由度为2的卡方分布；取p-value=0.05，对应的数值为5.99，即${\chi }^2$理论有95%的概率小于5.99；若${\chi }^2$<5.99我们认为假设成立，反之拒绝假设。

const float &sigmaSquare1 = mpCurrentKeyFrame->mvLevelSigma2[kp1.octave];//利用特征金字塔读取标准差
const float x1 = Rcw1.row(0).dot(x3Dt)+tcw1.at<float>(0);
const float y1 = Rcw1.row(1).dot(x3Dt)+tcw1.at<float>(1);
const float invz1 = 1.0/z1;
{
	float u1 = fx1*x1*invz1+cx1;//3D点投影到二维平面的横坐标
	float v1 = fy1*y1*invz1+cy1;//3D点投影到二维平面的纵坐标
	float errX1 = u1 - kp1.pt.x; //未归一化的误差
	float errY1 = v1 - kp1.pt.y;
	// 基于卡方检验计算出的阈值（假设测量有一个像素的偏差）自由度2
	if((errX1*errX1+errY1*errY1)>5.991*sigmaSquare1)
	continue;
}

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双目：
双目的检验过程和单目类似，3D点在双目图像上应有4个投影分量，但由于双目存在极线约束，限制了一个自由度，所以最后其实是满足自由度为3的卡方检验。具体如下：

const float &sigmaSquare1 = mpCurrentKeyFrame->mvLevelSigma2[kp1.octave];//利用特征金字塔读取标准差
const float x1 = Rcw1.row(0).dot(x3Dt)+tcw1.at<float>(0);
const float y1 = Rcw1.row(1).dot(x3Dt)+tcw1.at<float>(1);
const float invz1 = 1.0/z1;
{
	float u1 = fx1*x1*invz1+cx1;
	float u1_r = u1 - mpCurrentKeyFrame->mbf*invz1; // 根据视差公式计算假想的右目坐标
	float v1 = fy1*y1*invz1+cy1;
	float errX1 = u1 - kp1.pt.x;
	float errY1 = v1 - kp1.pt.y;
	float errX1_r = u1_r - kp1_ur;
	// 自由度为3
	if((errX1*errX1+errY1*errY1+errX1_r*errX1_r)>7.8*sigmaSquare1)
	continue;
}