大学生建模比赛入门——线性规划

一、快速了解线性规划

        线性规划是源于工业生产组织管理的决策问题，在数学中用来确定多变量函数在变量满足线性约束条件下的最优值。线性规划模型通常由三个要素组成——决策变量、目标函数及约束条件。

决策变量：决策者为了达到预定目标而要控制的那些变量。在问题求解过程中咱们就是要寻找决策变量的取值。

目标函数：决策变量的线性函数描述决策变量与预定目标间的关系。

约束条件：描述决策变量在哪些范围内有意义。

---

二、线性规划的数学形式

        上式(1)是目标函数，(2)是约束条件。从上述模型可以看出，线性规划的目标函数可以是最大化问题，也可以是最小化问题。约束条件可以是“”，也可以是“”或“”。在现实生活中，决策变量可以是非负的，可以是非正的，甚至是无约束的（即可以取任意值）。

---

三、利用Python求解线性规划问题

        在Python中我们使用Scipy库中scipy.optimize模块中的linprog函数进行线性规划问题的求解。这个函数集中了求解线性规划的常用算法，单纯形法、内点法，我们可以自行选择。

        Scipy中线性规划模型的标准形式为：

        linprog的基本调用格式：

from scipy.optimize import linprog
res=linprog(c,A,b,Aeq,beq,bounds,method) # bounds默认是(0,+∞)，可以根据需求更改；A,Aeq均为二维数组
print(res.fun) # 输出目标函数最小值
print(res.x) # 输出最优解

---

四、例题

求解下列线性规划问题

from scipy.optimize import linprog
c=[-1,2,3];A=[[-2,1,1],[3,-1,-2]];b=[9,-4];Aeq=[[4,-2,-1]];beq=[-6];bounds=[[-10,None],[0,None],[None,None]]
res=linprog(c,A,b,Aeq,beq,bounds)
print("目标函数最大值为：-",res.fun)
print("最优解为：",res.x)